A série está escrita em função de x e o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Precisa-se determinar:
o raio de convergência R (ou seja, até que valores de |x| a série converge absolutamente),
o intervalo de convergência (os valores reais de x para os quais a série converge).
Passo 2
Vamos escolher um critério prático para avaliar convergência de séries com fatorial no denominador: o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste da razão de forma clara.
Teste da razão (para uma série \sum a_n): calculeL=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.Se L<1, a série converge absolutamente. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.
Para séries de potências em x, aplicamos o teste da razão ao termo geral que depende de x. O raio de convergência R é o valor tal que a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R. Na prática, encontramos os x para os quais o limite do teste da razão é menor que 1.
Passo 3
Identifico o termo geral da série como
a_n(x)=(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora aplico o teste da razão, calculando \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Faço isso passo a passo:
Observe que o denominador é quadrático em n e cresce para +\infty, portanto para qualquer valor fixo e finito de |x| o limite é
L=0.
Como L=0<1 para todo x real (ou complexo), o teste da razão garante que a série converge absolutamente para todo x. Recordando: absoluta convergência implica convergência simples; então a série converge para todos os x.
Passo 5
Interpretação em termos de raio e intervalo de convergência:
Como a série converge absolutamente para qualquer valor real de x, o raio de convergência é infinito. Escrevemos R=\infty.
O intervalo de convergência (no eixo real) é, portanto, todos os reais:(-\infty,\infty).
Passo 6
Comentário adicional (útil para reforçar entendimento, opcional para a prova): essa série é exatamente a série de Taylor das potências ímpares com sinais alternados, ou seja, é a série de \sin x sem o termo n=0. De fato,
logo a série dada é \sin x menos o primeiro termo n=0, isto é, \sin x - x. Como \sin x é uma função inteira (converge para todo x), isso confirma que a série converge para todo x. Agora respira fundo — já era!
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)