Encontre o raio de convergencia e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Informações dadas:
  • A série está escrita em função de x e o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Precisa-se determinar:
    • o raio de convergência R (ou seja, até que valores de |x| a série converge absolutamente),
    • o intervalo de convergência (os valores reais de x para os quais a série converge).

Passo 2

Vamos escolher um critério prático para avaliar convergência de séries com fatorial no denominador: o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste da razão de forma clara.
  • Teste da razão (para uma série \sum a_n): calcule L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.Se L<1, a série converge absolutamente. Se L>1, a série diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Para séries de potências em x, aplicamos o teste da razão ao termo geral que depende de x. O raio de convergência R é o valor tal que a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R. Na prática, encontramos os x para os quais o limite do teste da razão é menor que 1.

Passo 3

Identifico o termo geral da série como
a_n(x)=(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora aplico o teste da razão, calculando \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Faço isso passo a passo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}\dfrac{x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}}{(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right| = \left|\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{x^{2n+1}}\right|.
Simplificando as potências de x e os fatoriais:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|^{2}\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}.
Usando (2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)! obtemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+3)}.
Observe que o denominador é quadrático em n e cresce para +\infty, portanto para qualquer valor fixo e finito de |x| o limite é
L=0.
Como L=0<1 para todo x real (ou complexo), o teste da razão garante que a série converge absolutamente para todo x. Recordando: absoluta convergência implica convergência simples; então a série converge para todos os x.

Passo 5

Interpretação em termos de raio e intervalo de convergência:
  • Como a série converge absolutamente para qualquer valor real de x, o raio de convergência é infinito. Escrevemos R=\infty.
  • O intervalo de convergência (no eixo real) é, portanto, todos os reais: (-\infty,\infty).

Passo 6

Comentário adicional (útil para reforçar entendimento, opcional para a prova): essa série é exatamente a série de Taylor das potências ímpares com sinais alternados, ou seja, é a série de \sin x sem o termo n=0. De fato,
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
logo a série dada é \sin x menos o primeiro termo n=0, isto é, \sin x - x. Como \sin x é uma função inteira (converge para todo x), isso confirma que a série converge para todo x. Agora respira fundo — já era!

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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