5^{\mathrm{a}} Questão: Calcule a força hidrostática total exercida sobre a comporta AB , que tem a forma de um quadrante de círculo. Determine ainda a distância do centro de pressão ao plano horizontal.
Q=0,2785 \cdot C \cdot D^{2,63} \cdot 5^{0,54} (Hogen-Willinne)
\gamma=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
y_{n}=\bar{y}+\frac{I_{x x}}{A}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a força hidrostática total sobre a comporta AB que tem a forma de um quadrante de círculo.
  • Determinar a distância do centro de pressão ao plano horizontal.
Informações dadas:
  • Foi informada a densidade da água como \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (atenção: isto é densidade; a pressão linear depende do peso específico \gamma=\rho g). Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, então \gamma=\rho g=1000\cdot9{,}81=9810\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Foi dada a relação usada para encontrar a profundidade do centro de pressão: \;y_{n}=\bar{y}+\dfrac{I_{xx}}{\bar{y}A}\;.
  • O enunciado não fornece uma dimensão numérica (por exemplo, o raio R do quadrante) nem a posição absoluta em relação à superfície livre. Para obter uma resposta numérica seria preciso esse dado. Para não bloquear a resolução, vou obter o resultado analítico em função do raio R e assumirei a configuração padrão a seguir (se a sua configuração for diferente, diga e eu adapto sem problema).
Assunção geométrica (configuração padrão, comum em provas):
  • A comporta é uma placa plana em forma de setor circular de ângulo 90^\circ (quadrante), com as arestas retas formando os eixos x (horizontal) e y (vertical). A aresta horizontal superior está na superfície livre ( y=0) e o quadrante estende-se para baixo y\ge0. Assim todas as profundidades usadas ficam medidas a partir do plano horizontal superior da comporta (isto é, a aresta reta superior coincide com a superfície livre). Essa hipótese é a que permite expressar as profundidades da maneira mais simples; se a posição vertical for outra, basta somar a profundidade do topo da comporta até a superfície livre.
Resumo do que vou calcular:
  • Área do quadrante A.
  • Profundidade do centróide \bar{y} (distância do plano horizontal superior até o centróide da área).
  • Momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal na posição do centróide I_{xx}.
  • Força resultante F=\gamma A\bar{y}.
  • Distância do centro de pressão y_n=\bar{y}+I_{xx}/(\bar{y}A).

Passo 2

Área e centróide do quadrante (dedução e fórmulas básicas).
  1. Área do quadrante de raio R:
A=\frac{\pi R^{2}}{4}.
Explicação: área de um círculo é \pi R^2; um quadrante é um quarto do círculo.
  1. Posição do centróide do quadrante em relação às arestas retas (distâncias iguais às duas direções por simetria):
    A fórmula conhecida (pode-se obter por integração em coordenadas polares) para as coordenadas do centróide de um quadrante é
\bar{x}=\bar{y}=\frac{4R}{3\pi}.
Aqui \bar{y} é a profundidade do centróide medida a partir da aresta horizontal superior (que, pela nossa assunção, coincide com a superfície livre). Se preferir ver a dedução rápida por integração, eu apresento, mas como é uma fórmula padrão a uso diretamente.

Passo 3

Força hidrostática total (fórmula e simplificação).
Regra importante (aula rápida): para uma superfície plana submersa e vertical (ou inclinada, desde que se use distância normal adequada), a resultante da pressão sobre a superfície plana tem módulo
F=\gamma\,A\,\bar{y},
onde
  • \gamma=\rho g é o peso específico do fluido (unidade \mathrm{N/m^3}),
  • A é a área da superfície (em \mathrm{m^2}),
  • \bar{y} é a profundidade do centróide (distância vertical do plano livre até o centróide), em \mathrm{m}.
Aplicando às fórmulas do Passo 2:
F=\gamma\cdot\frac{\pi R^{2}}{4}\cdot\frac{4R}{3\pi}.
Simplificando os fatores \pi e 4:
F=\gamma\cdot\frac{R^{3}}{3}.
Comentário didático: essa simplificação bonita acontece porque A\propto R^2 e \bar{y}\propto R, então F\propto R^3.
Se quiser a expressão em função da densidade \rho explícita:
F=\rho g\frac{R^{3}}{3}.
Exemplo numérico simbólico (se desejar): com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, o coeficiente \rho g/3 = 9810/3 = 3270, logo
F=3270\;R^{3}\\ \text{(em N, se \(R\) em m).}

Passo 4

Cálculo do momento de inércia em torno do eixo horizontal de referência e deslocamento para o eixo que passa pelo centróide.
A ideia / aula rápida:
  • Para usar a fórmula do centro de pressão dada, precisamos de I_{xx}, o momento de inércia da área relativamente a um eixo paralelo ao plano horizontal que passe pelo centróide.
  • É mais fácil calcular primeiro o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pela aresta superior ( y=0), depois aplicar o teorema dos eixos paralelos para colocar o eixo no centróide.
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pela aresta superior ( y=0) (integração em coordenadas polares — mostrarei de forma didática):
Usando coordenadas polares (r,\theta) com 0\le\theta\le\pi/2,\\\ 0\le r\le R, a distância à linha horizontal y=0 é y=r\sin\theta. O diferencial de área é dA=r\,dr\,d\theta. Logo
I_{x,\,\text{origem}}=\iint y^{2}\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R} (r\sin\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Calcule as integrais:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4},\qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}.
Portanto
I_{x,\,\text{origem}}=\frac{R^{4}}{4}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi R^{4}}{16}.
Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos para deslocar do eixo em y=0 para o eixo que passa pelo centróide (distância entre eixos = \bar{y}):
I_{xx}=I_{x,\,\text{origem}}-A\,\bar{y}^{2}
(sendo I_{x,\,\text{origem}}=I em relação ao eixo pela aresta; lembrando que I_{\text{origem}}=I_{\text{centro}}+A d^{2}\Rightarrow I_{\text{centro}}=I_{\text{origem}}-A d^{2}).
Substituindo I_{x,\,\text{origem}}=\dfrac{\pi R^{4}}{16}, A=\dfrac{\pi R^{2}}{4} e \bar{y}=\dfrac{4R}{3\pi}:
A\,\bar{y}^{2}=\frac{\pi R^{2}}{4}\cdot\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^{2} =\frac{\pi R^{2}}{4}\cdot\frac{16R^{2}}{9\pi^{2}} =\frac{4R^{4}}{9\pi}.
Logo
I_{xx}=\frac{\pi R^{4}}{16}-\frac{4R^{4}}{9\pi} =R^{4}\!\left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right).

Passo 5

Cálculo da distância do centro de pressão ao plano horizontal y_{n}.
Usamos a fórmula dada:
y_{n}=\bar{y}+\frac{I_{xx}}{\bar{y}A}.
Primeiro calcule o denominador \bar{y}A:
\bar{y}A=\frac{4R}{3\pi}\cdot\frac{\pi R^{2}}{4}=\frac{R^{3}}{3}.
Agora substitua I_{xx} e \bar{y}A:
\frac{I_{xx}}{\bar{y}A}=\frac{R^{4}\!\left(\dfrac{\pi}{16}-\dfrac{4}{9\pi}\right)}{R^{3}/3} =3R\!\left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right).
Portanto
y_{n}=\frac{4R}{3\pi}+3R\!\left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right).
Podemos simplificar numericamente o coeficiente em função de R. Calcule os números:
\frac{4}{3\pi}\approx 0{,}424413,\qquad 3\left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right)\approx 0{,}164635.
Somando,
y_{n}\approx 0{,}424413\,R+0{,}164635\,R=0{,}589048\,R\approx0{,}58905\,R.
Interpretação: o centro de pressão fica a uma profundidade aproximadamente igual a 0{,}58905 vezes o raio R medido a partir da aresta horizontal superior (a nossa referência).

Passo 6

Resumo físico final e observações práticas (injeção pedagógica, para a prova):
  • Força resultante: integrate-se a pressão linearmente crescente com a profundidade; para superfícies planas a expressão F=\gamma A\bar{y} é a regra rápida e deve ser memorizada. Aqui resultou uma expressão simples em R porque a geometria é um quadrante.
  • Local do centro de pressão: ele fica sempre abaixo do centróide (porque a pressão aumenta com a profundidade), e a fórmula y_{n}=\bar{y}+\dfrac{I_{xx}}{\bar{y}A} mostra esse deslocamento extra devido à distribuição não uniforme da pressão.
  • Se a sua comporta não tiver a aresta superior coincidente com a superfície livre, basta somar a profundidade do topo da comporta à expressão de y_{n} acima para obter a distância do centro de pressão à superfície livre, ou ajustar \bar{y} conforme a posição real.

Resposta

F=\rho g\;\dfrac{R^{3}}{3}.\newline
y_{n}\approx 0{,}589048\;R (distância do centro de pressão ao plano horizontal superior do quadrante).

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