Questão: Calcule a força hidrostática total exercida sobre a comporta AB , que tem a forma de um quadrante de círculo. Determine ainda a distância do centro de pressão ao plano horizontal.
(Hogen-Willinne)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a força hidrostática total sobre a comporta
que tem a forma de um quadrante de círculo. - Determinar a distância do centro de pressão ao plano horizontal.
Informações dadas:
- Foi informada a densidade da água como
(atenção: isto é densidade; a pressão linear depende do peso específico ). Vou usar , então . - Foi dada a relação usada para encontrar a profundidade do centro de pressão:
. - O enunciado não fornece uma dimensão numérica (por exemplo, o raio
do quadrante) nem a posição absoluta em relação à superfície livre. Para obter uma resposta numérica seria preciso esse dado. Para não bloquear a resolução, vou obter o resultado analítico em função do raio e assumirei a configuração padrão a seguir (se a sua configuração for diferente, diga e eu adapto sem problema).
Assunção geométrica (configuração padrão, comum em provas):
- A comporta é uma placa plana em forma de setor circular de ângulo
(quadrante), com as arestas retas formando os eixos (horizontal) e (vertical). A aresta horizontal superior está na superfície livre ( ) e o quadrante estende-se para baixo . Assim todas as profundidades usadas ficam medidas a partir do plano horizontal superior da comporta (isto é, a aresta reta superior coincide com a superfície livre). Essa hipótese é a que permite expressar as profundidades da maneira mais simples; se a posição vertical for outra, basta somar a profundidade do topo da comporta até a superfície livre.
Resumo do que vou calcular:
- Área do quadrante
. - Profundidade do centróide
(distância do plano horizontal superior até o centróide da área). - Momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal na posição do centróide
. - Força resultante
. - Distância do centro de pressão
.
Passo 2
Área e centróide do quadrante (dedução e fórmulas básicas).
- Área do quadrante de raio
:
Explicação: área de um círculo é
; um quadrante é um quarto do círculo.
- Posição do centróide do quadrante em relação às arestas retas (distâncias iguais às duas direções por simetria):
A fórmula conhecida (pode-se obter por integração em coordenadas polares) para as coordenadas do centróide de um quadrante é
Aqui
é a profundidade do centróide medida a partir da aresta horizontal superior (que, pela nossa assunção, coincide com a superfície livre). Se preferir ver a dedução rápida por integração, eu apresento, mas como é uma fórmula padrão a uso diretamente.
Passo 3
Força hidrostática total (fórmula e simplificação).
Regra importante (aula rápida): para uma superfície plana submersa e vertical (ou inclinada, desde que se use distância normal adequada), a resultante da pressão sobre a superfície plana tem módulo
onde
-
é o peso específico do fluido (unidade ), -
é a área da superfície (em ), -
é a profundidade do centróide (distância vertical do plano livre até o centróide), em .
Aplicando às fórmulas do Passo 2:
Simplificando os fatores
e
:
Comentário didático: essa simplificação bonita acontece porque
e
, então
.
Se quiser a expressão em função da densidade
explícita:
Exemplo numérico simbólico (se desejar): com
e
, o coeficiente
, logo
Passo 4
Cálculo do momento de inércia em torno do eixo horizontal de referência e deslocamento para o eixo que passa pelo centróide.
A ideia / aula rápida:
- Para usar a fórmula do centro de pressão dada, precisamos de
, o momento de inércia da área relativamente a um eixo paralelo ao plano horizontal que passe pelo centróide. - É mais fácil calcular primeiro o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pela aresta superior (
), depois aplicar o teorema dos eixos paralelos para colocar o eixo no centróide.
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pela aresta superior (
) (integração em coordenadas polares — mostrarei de forma didática):
Usando coordenadas polares
com
, a distância à linha horizontal
é
. O diferencial de área é
. Logo
Calcule as integrais:
Portanto
Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos para deslocar do eixo em
para o eixo que passa pelo centróide (distância entre eixos
):
(sendo
em relação ao eixo pela aresta; lembrando que
).
Substituindo
,
e
:
Logo
Passo 5
Cálculo da distância do centro de pressão ao plano horizontal
.
Usamos a fórmula dada:
Primeiro calcule o denominador
:
Agora substitua
e
:
Portanto
Podemos simplificar numericamente o coeficiente em função de
. Calcule os números:
Somando,
Interpretação: o centro de pressão fica a uma profundidade aproximadamente igual a
vezes o raio
medido a partir da aresta horizontal superior (a nossa referência).
Passo 6
Resumo físico final e observações práticas (injeção pedagógica, para a prova):
- Força resultante: integrate-se a pressão linearmente crescente com a profundidade; para superfícies planas a expressão
é a regra rápida e deve ser memorizada. Aqui resultou uma expressão simples em porque a geometria é um quadrante. - Local do centro de pressão: ele fica sempre abaixo do centróide (porque a pressão aumenta com a profundidade), e a fórmula
mostra esse deslocamento extra devido à distribuição não uniforme da pressão. - Se a sua comporta não tiver a aresta superior coincidente com a superfície livre, basta somar a profundidade do topo da comporta à expressão de
acima para obter a distância do centro de pressão à superfície livre, ou ajustar conforme a posição real.