O que o enunciado pede: "Calcule todos os subanéis de \mathbb{Z}_{12}".
Informações dadas/úteis que temos à mão: \mathbb{Z}_{12}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\dots,\overline{11}\} com adição e multiplicação feitas módulo 12. Preciso encontrar todas as partes S\subseteq\mathbb{Z}_{12} que são subanéis (ou seja, fechadas sob soma, inverso aditivo e produto). Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que se pede e os dados.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada passo a passo): um subconjunto S\subseteq\mathbb{Z}_{12} é subanel se (i) contém \overline{0}, (ii) é fechado por soma e por inverso aditivo (ou seja, é um subgrupo aditivo), e (iii) é fechado por produto. Vou trabalhar com essa definição porque é a usual e direta para \mathbb{Z}_{12}.
Explicando o que significa ser “subgrupo aditivo” de forma bem simples: isso quer dizer que se a,b\in S então \overline{a}+\overline{b}\in S e -\overline{a}\in S. No grupo aditivo de \mathbb{Z}_{12} (que é cíclico de ordem 12), os subgrupos aditivos são bem conhecidos e fáceis de listar — é daí que vamos partir.
Passo 3
Caracterização dos subgrupos aditivos de \mathbb{Z}_{12} (a parte “mágica” que facilita tudo): o grupo aditivo de \mathbb{Z}_{12} é cíclico de ordem 12, portanto para cada divisor d de 12 existe exatamente um subgrupo aditivo gerado por \overline{d}. Vou escrever esses subgrupos na forma d\mathbb{Z}_{12}=\{\overline{0},\overline{d},\overline{2d},\dots\}. Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12, então os subgrupos aditivos possíveis são exatamente:
Vou usar esses candidatos para verificar a condição de subanel (fechamento por produto).
Passo 4
Verificando fechamento por produto — argumento geral e simples: se tomamos d\mathbb{Z}_{12} com d\mid 12, qualquer elemento é da forma \overline{ad} e \overline{bd}. O produto é \overline{ad}\cdot\overline{bd}=\overline{abd^2}.
Como \overline{abd^2} é múltiplo de \overline{d} (pois abd^2=(ab d)\cdot d), ele pertence a d\mathbb{Z}_{12}. Em outras palavras, o produto de dois múltiplos de d é outro múltiplo de d (com redução módulo 12 não atrapalha: toda classe que é múltiplo de d fica dentro do conjunto). Logo cada d\mathbb{Z}_{12} é fechado por produto, então é de fato um subanel.
Para dar segurança, podemos checar rapidamente alguns produtos em cada conjunto (exemplo rápido): em 4\mathbb{Z}_{12} temos \overline{4}\cdot\overline{4}=\overline{16}=\overline{4} e \overline{4}\cdot\overline{8}=\overline{32}=\overline{8} — todos ficam no conjunto. Em 6\mathbb{Z}_{12} temos \overline{6}\cdot\overline{6}=\overline{36}=\overline{0} — também fechado. Esses exemplos confirmam o argumento geral.
Passo 5
Completeness (por que não há outros subanéis): se S\subseteq\mathbb{Z}_{12} é subanel, então S é um subgrupo aditivo do grupo cíclico \mathbb{Z}_{12}, e por teoria dos grupos cíclicos já sabemos que subgrupos aditivos só podem ser os d\mathbb{Z}_{12} com d\mid 12. Assim não existe nenhum subanel além dos listados no Passo 3. Portanto os subanéis de \mathbb{Z}_{12} são exatamente os d\mathbb{Z}_{12} para d\in\{1,2,3,4,6,12\}.