Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, tal que \mathcal{N}(T)=[(2,1)].

Passo 1

O enunciado pede que eu dê exemplos de transformações lineares T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tais que \mathcal{N}(T)=[(2,1)].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Queremos T linear.
  • A condição sobre o núcleo é \mathcal{N}(T)=[(2,1)], isto é, o conjunto de vetores que T envia para 0 deve ser exatamente a reta gerada por (2,1).

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}. Qualquer T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} linear pode ser escrita como
T(x,y)=ax+by
onde a e b são constantes reais. Aqui x e y são as coordenadas do vetor de entrada; a e b representam os coeficientes da forma linear (podemos pensar em T como o produto da matriz linha (a\; b) pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}). Isso vem da definição de linearidade: a imagem de (x,y) pela transformação é combinação linear das coordenadas com coeficientes fixos.

Passo 3

Definimos o núcleo (ou nullspace) de T por
\mathcal{N}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=0\}.
Queremos que esse conjunto seja exatamente a reta [ (2,1) ]=\{t(2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}. Então precisamos escolher a e b de forma que a solução de ax+by=0 seja precisamente \{t(2,1)\}.

Passo 4

Impondo que (2,1) esteja no núcleo, temos
T(2,1)=a\cdot 2 + b\cdot 1 = 0,
ou seja
2a+b=0.
Isso nos dá uma relação entre a e b: b=-2a. Então qualquer forma T(x,y)=ax+by que satisfaça a condição do núcleo deve ter b=-2a, logo
T(x,y)=a(x-2y).

Passo 5

Precisamos garantir que o núcleo não seja maior do que a reta pedida. Se a=0 então b=-2a=0 e T é a aplicação zero, cuja \mathcal{N}(T)=\mathbb{R}^2 — isso não serve. Portanto devemos tomar a\neq 0. Para a\neq 0 podemos dividir por a na equação a(x-2y)=0 e obtemos
x-2y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2y.
Os vetores que satisfazem isto são exatamente (x,y)=(2t,t)=t(2,1), t\in\mathbb{R}. Logo para qualquer a\neq 0 a equação T(x,y)=a(x-2y)=0 tem solução exatamente [ (2,1) ]. Assim essas T têm núcleo igual ao que queremos.

Passo 6

Explicando de forma bem direta: toda transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} com \mathcal{N}(T)=[(2,1)] é da forma
T(x,y)=c\,(x-2y)
com c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. O parâmetro c apenas escala a aplicação; núcleos iguais correspondem a escalares não nulos.

Passo 7

Vou dar alguns exemplos concretos (cada um é um caso particular com c\neq 0) e verificar rapidamente:
  • Se T(x,y)=x-2y então T(2,1)=2-2\cdot1=0 e a equação x-2y=0 (x,y)=t(2,1). Bom.
  • Se T(x,y)=3x-6y então T(2,1)=6-6=0 e a equação 3x-6y=0 reduz a x-2y=0. Mesmo núcleo.
  • Se T(x,y)=-5x+10y então T(2,1)=-10+10=0 e análogamente o núcleo é a mesma reta.
Todos esses exemplos satisfazem \mathcal{N}(T)=[(2,1)].

Passo 8

Resumo conceitual rápido e motivador: para obter núcleo igual a uma reta que passa pela origem (aqui gerada por (2,1)) basta escolher um funcional linear (vetor linha (a\; b)) perpendicular a essa reta e não nulo. A condição de perpendicularidade é o produto escalar 2a+b=0. Qualquer solução não nula dessa equação fornece a transformação desejada. Vai dar tudo certo na prova — pensa assim: primeiro força T(2,1)=0, depois evita T\equiv 0.

Resposta

T(x,y)=x-2y
T(x,y)=3x-6y
T(x,y)=-5x+10y
Mais geral: T(x,y)=c(x-2y), com c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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