Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares
, tal que
.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê exemplos de transformações lineares
tais que
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Queremos
linear. - A condição sobre o núcleo é
, isto é, o conjunto de vetores que envia para deve ser exatamente a reta gerada por .
Passo 2
Vamos escrever a forma geral de uma transformação linear de
em
. Qualquer
linear pode ser escrita como
onde
e
são constantes reais. Aqui
e
são as coordenadas do vetor de entrada;
e
representam os coeficientes da forma linear (podemos pensar em
como o produto da matriz linha
pelo vetor coluna
). Isso vem da definição de linearidade: a imagem de
pela transformação é combinação linear das coordenadas com coeficientes fixos.
Passo 3
Definimos o núcleo (ou nullspace) de
por
Queremos que esse conjunto seja exatamente a reta
. Então precisamos escolher
e
de forma que a solução de
seja precisamente
.
Passo 4
Impondo que
esteja no núcleo, temos
ou seja
Isso nos dá uma relação entre
e
:
. Então qualquer forma
que satisfaça a condição do núcleo deve ter
, logo
Passo 5
Precisamos garantir que o núcleo não seja maior do que a reta pedida. Se
então
e
é a aplicação zero, cuja
— isso não serve. Portanto devemos tomar
. Para
podemos dividir por
na equação
e obtemos
Os vetores que satisfazem isto são exatamente
,
. Logo para qualquer
a equação
tem solução exatamente
. Assim essas
têm núcleo igual ao que queremos.
Passo 6
Explicando de forma bem direta: toda transformação linear
com
é da forma
com
. O parâmetro
apenas escala a aplicação; núcleos iguais correspondem a escalares não nulos.
Passo 7
Vou dar alguns exemplos concretos (cada um é um caso particular com
) e verificar rapidamente:
- Se
então e a equação dá . Bom. - Se
então e a equação reduz a . Mesmo núcleo. - Se
então e análogamente o núcleo é a mesma reta.
Todos esses exemplos satisfazem
.
Passo 8
Resumo conceitual rápido e motivador: para obter núcleo igual a uma reta que passa pela origem (aqui gerada por
) basta escolher um funcional linear (vetor linha
) perpendicular a essa reta e não nulo. A condição de perpendicularidade é o produto escalar
. Qualquer solução não nula dessa equação fornece a transformação desejada. Vai dar tudo certo na prova — pensa assim: primeiro força
, depois evita
.
Resposta
Mais geral: