Para todo
, quanto vale
?
Escolha uma opção:
◯ a. -i
◯ b. i
◯ c. 1
◯ d. -1
Escolha uma opção:
◯ a. -i
◯ b. i
◯ c. 1
◯ d. -1
Passo 1
O enunciado pede para calcular, para todo
, o valor da potência
.
Informações relevantes dadas: é a unidade imaginária (onde
), e o expoente é a expressão inteira
. A resposta deve ser uma das opções:
,
,
ou
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Lembrete importante sobre potências de
: elas são periódicas de período
. Ou seja, basta saber o expoente modulo
para determinar a potência. Os valores básicos são:
Isso significa que, se um expoente
satisfaz
com
, então
.
Passo 3
Portanto, o passo chave é calcular o resto da divisão do expoente
por
; em outras palavras, encontrar
.
Passo 4
Calculemos cada termo de
módulo
.
Observe que é divisível por
porque
. Logo
Observe que
De forma análoga,
é divisível por
porque
. Logo
Por fim o termo constante é
, que mod
é
. Somando os restos:
Passo 5
Como
, temos
. E sabemos que
Portanto para todo
a potência dada vale
.
Resposta
-1