Para todo n \in \mathbb{N}, quanto vale i^{300 n^{2}-7740 n+2} ?
Escolha uma opção:
◯ a. -i
◯ b. i
◯ c. 1
◯ d. -1

Passo 1

O enunciado pede para calcular, para todo n\in\mathbb{N}, o valor da potência \;i^{300n^{2}-7740n+2}.
Informações relevantes dadas: \;i é a unidade imaginária (onde \;i^{2}=-1), e o expoente é a expressão inteira \;300n^{2}-7740n+2. A resposta deve ser uma das opções: -i, i, 1 ou -1.

Passo 2

Lembrete importante sobre potências de \;i: elas são periódicas de período 4. Ou seja, basta saber o expoente modulo 4 para determinar a potência. Os valores básicos são:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\ldots
Isso significa que, se um expoente k satisfaz \;k\equiv r\pmod{4} com r\in\{0,1,2,3\}, então \;i^{k}=i^{r}.

Passo 3

Portanto, o passo chave é calcular o resto da divisão do expoente \;E=300n^{2}-7740n+2 por 4; em outras palavras, encontrar \;E\bmod 4.

Passo 4

Calculemos cada termo de \;E módulo 4.
Observe que \;300 é divisível por 4 porque \;300=4\cdot75. Logo
300n^{2}\equiv 0\pmod{4}.
De forma análoga, \;7740 é divisível por 4 porque \;7740=4\cdot1935. Logo
-7740n\equiv 0\pmod{4}.
Por fim o termo constante é \;2, que mod 4 é \;2. Somando os restos:
E\equiv 0+0+2 \equiv 2\pmod{4}.

Passo 5

Como \;E\equiv 2\pmod{4}, temos \;i^{E}=i^{2}. E sabemos que
i^{2}=-1.
Portanto para todo n\in\mathbb{N} a potência dada vale -1.

Resposta

-1

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