Encontre os complexos z e \boldsymbol{w} que satisfazem \boldsymbol{z}+\boldsymbol{w} \boldsymbol{=} \boldsymbol{i} \quad e \quad \boldsymbol{i} \boldsymbol{z}+\boldsymbol{w}=\mathbf{2} \boldsymbol{i}-\mathbf{1}.
Escolha uma opção:
◯ a. z=i \quad e \quad w=i+1
◯ b. z=i+1 \quad e \quad w=i
◯ C. z=i-1 \quad e \quad \boldsymbol{w}=i+1
◯ d. z=-i+1 \quad e \quad w=-i
◯ e. z=i-1 \quad e \quad \boldsymbol{w}=-\boldsymbol{i}

Passo 1

O enunciado dá duas equações que relacionam os números complexos z e w:
z + w = i
i z + w = 2i - 1
O que nos pedem é encontrar os valores de z e w que satisfazem simultaneamente essas duas igualdades. As informações relevantes são exatamente as duas equações acima; o objetivo é determinar z e w.

Passo 2

Estratégia: como temos duas equações lineares em duas incógnitas ( z e w), vamos usar eliminação para eliminar uma incógnita e resolver para a outra. Isso é análogo a resolver um sistema linear com números reais, só que aqui as incógnitas são números complexos — as regras algébricas são as mesmas.

Passo 3

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar w. Escrevendo as equações e fazendo a subtração:
(i z + w) - (z + w) = (2i - 1) - i
No lado esquerdo w - w = 0, portanto:
(i - 1)z = i - 1

Passo 4

Agora isolamos z. Para isso dividimos ambos os lados por i-1. Antes de dividir, verificamos que i-1 \neq 0. Uma maneira simples de ver isso é calcular o módulo ao quadrado:
|i-1|^2 = (0-1)^2 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2 \neq 0,
logo i-1 é um número complexo não-nulo e a divisão é válida. Dividindo:
z = \frac{i-1}{i-1} = 1.

Passo 5

Com z encontrado usamos a primeira equação para achar w:
w = i - z = i - 1.

Passo 6

Conferência rápida: substituindo em i z + w,
i\cdot 1 + (i-1) = i + i - 1 = 2i - 1,
que coincide com a segunda equação do enunciado. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas: a solução que encontramos é z=1 e w=i-1. Nenhuma das alternativas listadas (a, b, c, d, e) apresenta esse par (z,w). Portanto nenhuma das alternativas propostas está correta.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta. z=1 e w=i-1

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