Essa questão deve ser respondida com um número complexo do tipo a+bi onde a e b são reais. Escreva esse número na caixa.
O conjugado do complexo
é:
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede o conjugado do número complexo
Informações relevantes que temos: os termos são potências de
(a unidade imaginária) multiplicadas por constantes reais. A resposta final deve ser escrita na forma
, com
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar uma propriedade fundamental das potências de
:
Esses valores se repetem ciclicamente a cada 4 expoentes, ou seja, para todo inteiro
vale
onde
é o resto da divisão de
por
. Exemplos rápidos:
e
. Isso é muito útil para calcular potências grandes de
sem precisar multiplicar muitas vezes.
Passo 3
Agora simplificamos cada potência do enunciado usando o ciclo de período 4:
- Para
: como , temos . Então . - Para
: sabemos que . Então . - Para
: sabemos que . Então .
Somando os termos reais e imaginários:
Portanto o número complexo dado é
.
Passo 4
Definição e aplicação do conjugado: se um número complexo é
com
, o conjugado de
é
No nosso caso temos
, isto é,
e
. Aplicando a definição,
(Não simplificamos nesta etapa para deixar a apresentação do resultado final apenas no campo de resposta, conforme pedido.)