Essa questão deve ser respondida com um número complexo do tipo a+bi onde a e b são reais. Escreva esse número na caixa.

O conjugado do complexo 5 i^{40}+6 i^{3}+2 i^{2} é:
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede o conjugado do número complexo
5 i^{40} + 6 i^{3} + 2 i^{2}.
Informações relevantes que temos: os termos são potências de \,i (a unidade imaginária) multiplicadas por constantes reais. A resposta final deve ser escrita na forma a+bi, com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar uma propriedade fundamental das potências de \,i:
i^1 = i,\qquad i^2 = -1,\qquad i^3 = -i,\qquad i^4 = 1.
Esses valores se repetem ciclicamente a cada 4 expoentes, ou seja, para todo inteiro n vale
i^n = i^{n \bmod 4},
onde n \bmod 4 é o resto da divisão de n por 4. Exemplos rápidos: \,i^5 = i^{1} = i e \,i^{12} = i^{0} = 1. Isso é muito útil para calcular potências grandes de \,i sem precisar multiplicar muitas vezes.

Passo 3

Agora simplificamos cada potência do enunciado usando o ciclo de período 4:
  • Para \,i^{40}: como 40 \bmod 4 = 0, temos \,i^{40} = i^{0} = 1. Então \,5 i^{40} = 5\cdot 1 = 5.
  • Para \,i^{3}: sabemos que \,i^{3} = -i. Então \,6 i^{3} = 6\cdot(-i) = -6i.
  • Para \,i^{2}: sabemos que \,i^{2} = -1. Então \,2 i^{2} = 2\cdot(-1) = -2.
Somando os termos reais e imaginários:
5 + (-6i) + (-2) = (5-2) + (-6i) = 3 - 6i.
Portanto o número complexo dado é \,z = 3 - 6i.

Passo 4

Definição e aplicação do conjugado: se um número complexo é \,z = a + b i com a,b\in\mathbb{R}, o conjugado de \,z é
\overline{z} = a - b i.
No nosso caso temos \,z = 3 - 6i, isto é, a=3 e b=-6. Aplicando a definição,
\overline{z} = 3 - (-6)i.
(Não simplificamos nesta etapa para deixar a apresentação do resultado final apenas no campo de resposta, conforme pedido.)

Resposta

3+6i

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