Quais dos conjuntos a seguir são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \in \mathbb{Z}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x\in \mathbb{Z}\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar os três critérios: (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob adição e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como 0\in\mathbb{Z}, temos (0,0,0)\in W. Logo, critério (i) OK.

Passo 3

Verificamos a adição: sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) em W. Então x_1,x_2\in\mathbb{Z}. Na soma
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
temos x_1+x_2\in\mathbb{Z}. Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W, e W é fechado sob adição.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar real \lambda. Tome \mathbf{u}=(x,y,z)\in W, com x\in\mathbb{Z}. Então
\lambda\,\mathbf{u}=(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z).
Para \lambda\in\mathbb{R} genérico, \lambda x nem sempre é inteiro. Por exemplo, se \lambda=\tfrac12 e \mathbf{u}=(1,0,0), fica
\tfrac12\,(1,0,0)=(0,0,0)\quad\text{(ok aqui)},
mas já com \mathbf{u}=(2,0,0)
\tfrac12\,(2,0,0)=(1,0,0)\in W,
essa até fecha, mas pegue \mathbf{u}=(1,0,0):
\tfrac12\,(1,0,0)=(0{,}5,0,0)\notin W
porque 0{,}5\notin\mathbb{Z}. Logo falha o critério (iii).

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.)

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