Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto
f(z)=cos(iez);
f(z)=cos(iez);
Passo 1
O enunciado pede a derivação da função
identificar o domínio em que é derivável e calcular a derivada num ponto adequado. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas, usando que
e a função
são inteiras (deriváveis em todo
).
Passo 2
Como tanto a função exponencial quanto o cosseno são inteiras, a composição
é inteira. Portanto,
é derivável em todo o plano complexo, isto é, o domínio de derivabilidade é
.
Passo 3
Para derivar
usamos a regra da cadeia:
Aqui definimos
.
Passo 4
Calculamos
. Como
é linear em
, temos
Logo
Passo 5
Escolhemos o ponto
para avaliar
. Como
,
Resposta
A função é derivável em todo
.
e em
vale
.