Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto
f(z)=cos(iez);

Passo 1

O enunciado pede a derivação da função
f(z)=\cos\bigl(i\,e\,z\bigr),
identificar o domínio em que é derivável e calcular a derivada num ponto adequado. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas, usando que \cos w e a função w=i\,e\,z são inteiras (deriváveis em todo \mathbb{C}).

Passo 2

Como tanto a função exponencial quanto o cosseno são inteiras, a composição
z\mapsto i\,e\,z \quad\text{e}\quad w\mapsto\cos(w)
é inteira. Portanto, f é derivável em todo o plano complexo, isto é, o domínio de derivabilidade é \mathbb{C}.

Passo 3

Para derivar f(z)=\cos\bigl(u(z)\bigr) usamos a regra da cadeia:
f'(z)=-\sin\bigl(u(z)\bigr)\;u'(z).
Aqui definimos u(z)=i\,e\,z.

Passo 4

Calculamos u'(z). Como u(z)=i\,e\,z é linear em z, temos
u'(z)=i\,e.
Logo
f'(z)=-\sin\bigl(i\,e\,z\bigr)\cdot i\,e.

Passo 5

Escolhemos o ponto z=0 para avaliar f'. Como \sin(0)=0,
f'(0)=-i\,e\;\sin(0)=0.

Resposta

A função é derivável em todo \mathbb{C}.
f'(z)=-i\,e\,\sin\bigl(i\,e\,z\bigr),
e em z=0 vale f'(0)=0.

Exercícios relacionados