Calcule ointC (x+y) d x-(x-y) d yx^2+y^2, tomado ao longo da circunferência x^2+y^2=a^2 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC(x+y),dx-(x-y),dyx^2+y^2
ao longo da circunferência x^2+y^2=a^2 no sentido anti-horário.
Conteúdo: integração de linha de campos e parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência por
x = acos t, y = asin t, tin[0,2pi],
logo
dx = -asin t,dt, dy = acos t,dt

Passo 3

No numerador temos
x+y = a(cos t + sin t), x-y = a(cos t - sin t),
então
(x+y),dx - (x-y),dy = a(cos t+sin t)(-asin t,dt);-;a(cos t-sin t)(acos t,dt)

Passo 4

Desenvolvendo e reunindo termos:
(x+y),dx-(x-y),dy =-a^2l[(cos t+sin t)sin t+(cos t-sin t)cos tr],dt
Mas
(cos t+sin t)sin t+(cos t-sin t)cos t =sin^2 t+cos^2 t=1,
logo o numerador fica -a^2,dt e o denominador a^2, de onde o integrando é -dt.

Passo 5

A integral torna-se
integral0^2pi(-dt)=-2pi

Resposta

-2pi

Exercícios relacionados