Sejam a, b in R, com a<b. Mostre que
a<t b+(1-i) a<b
para todo t in(0,1). Conclua que
a<a+b2<b

Passo 1

O enunciado diz que a<b são números reais e que t varia em (0,1). Precisamos mostrar que a combinação convexa \r
xt = t,b + (1 - t),a \r
satisfaz \r
a < xt < b \r
para todo tin(0,1), e então aplicar esse resultado ao caso t = tfrac12 para concluir \r
a < a+b2 < b

Passo 2

Para a desigualdade à esquerda, note que \r
xt - a = l(t,b + (1 - t),ar) - a = t,b + (1 - t),a - a = t,(b - a) \r
Como t>0 e b-a>0 (pois a<b), o produto t,(b-a) é positivo. Logo \r
xt - a > 0 Longrightarrow a < xt

Passo 3

Para a desigualdade à direita, escreva \r
b - xt = b - l(t,b + (1 - t),ar) = b - t,b - (1 - t),a = (1 - t),(b - a) \r
Como 1-t>0 e b-a>0, segue que (1-t)(b-a)>0. Logo \r
b - xt > 0 Longrightarrow xt < b

Passo 4

Combinando os dois resultados, obtemos \r
a < xt < b para todo tin(0,1) \r
Em particular, se escolhermos t=tfrac12, então \r
x1/2 = tfrac12,b + l(1-tfrac12r),a = a+b2, \r
e portanto \r
a < a+b2 < b

Resposta

a < a+b2 < b

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