Sejam
. Mostre que
para todo
. Conclua que
Passo 1
O enunciado diz que
são números reais e que
varia em
. Precisamos mostrar que a combinação convexa \r
satisfaz \r
para todo
, e então aplicar esse resultado ao caso
para concluir \r
Passo 2
Para a desigualdade à esquerda, note que \r
Como
e
(pois
), o produto
é positivo. Logo \r
Passo 3
Para a desigualdade à direita, escreva \r
Como
e
, segue que
. Logo \r
Passo 4
Combinando os dois resultados, obtemos \r
Em particular, se escolhermos
, então \r
e portanto \r