Sejam a, b, c, d in R, com b>0 e d>0. Mostre que x a d<b c, entao
ab<a+cb+d<cd

Passo 1

O enunciado dá a,b,c,dinR com b>0, d>0 e a hipótese
ad < bc,
e pede para mostrar a cadeia
ab < a+cb+d < cd
Para comparar frações usaremos a propriedade de multiplicar em cruz, lembrando que ao multiplicar ou dividir por número positivo o sentido da desigualdade não muda.

Passo 2

Queremos ab < a+cb+d. Como b>0 e b+d>0, isso é equivalente a
a,(b+d) < b,(a+c)
Expandindo os dois lados,
ab + ad < ab + bc
e subtraindo ab de ambos os lados obtemos exatamente
ad < bc,
que é a hipótese. Logo
ab < a+cb+d

Passo 3

Queremos a+cb+d < cd. Como d>0 e b+d>0, isso é equivalente a
d,(a+c) < c,(b+d)
Expandindo,
ad + cd < bc + cd
e subtraindo cd de ambos os lados ficamos de novo com
ad < bc,
que vale por hipótese. Portanto
a+cb+d < cd

Resposta

ab < a+cb+d < cd

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