Calcule a torção das seguintes curvas:
alpha(t)=(t, t^2, t^3)

Passo 1

O enunciado pede calcular a torção da curva alpha(t)=(t,t^2,t^3).
O conteúdo envolvido é geometria diferencial de curvas e vamos usar a definição de torção que requer as derivadas até a terceira e o produto vetorial entre alpha' e alpha''.

Passo 2

Vamos obter as derivadas de alpha:
alpha'(t) = (1,;2t,;3t^2)
alpha''(t) = (0,;2,;6t)
alpha'''(t) = (0,;0,;6)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial alpha'(t)timesalpha''(t). Aplicando a regra do determinante, obtemos
alpha'(t)timesalpha''(t) = (6t^2,;-6t,;2)

Passo 4

Agora o produto escalar entre esse vetor e alpha'''(t) é
(6t^2,;-6t,;2)cdot(0,;0,;6) = 12

Passo 5

A fórmula da torção é
tau(t) = (alpha'timesalpha'')cdotalpha'''|alpha'timesalpha''|^2
Como |alpha'timesalpha''|^2 = (6t^2)^2+(-6t)^2+2^2 = 36t^4+36t^2+4, temos
tau(t) = 1236t^4+36t^2+4 = 39t^4+9t^2+1

Resposta

tau(t) = 39t^4+9t^2+1

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