Calcule a torção das seguintes curvas:
alpha(t)=(cos t, sen t, e^t)

Passo 1

O enunciado pede a torção da curva espacial
alpha(t) = l(cos t,;sin t,;e^tr)
Conteúdo: teoria de curvas em R^3, usando a fórmula
tau(t) ;=;detl(alpha'(t),,alpha''(t),,alpha'''(t)r)llvertalpha'(t)times alpha''(t)rrvert^2
Precisamos calcular as derivadas até a terceira, o produto vetorial, seu módulo ao quadrado e o determinante.

Passo 2

Calculamos as derivadas de alpha:
alpha'(t) = l(-sin t,;cos t,;e^tr),
alpha''(t) = l(-cos t,;-,sin t,;e^tr),
alpha'''(t) = l(sin t,;-,cos t,;e^tr)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial alpha'(t)timesalpha''(t) e seu quadrado do módulo:
alpha'(t)timesalpha''(t) = i&j&k -sin t&cos t&e^t -cos t&-sin t&e^t =l(e^t(cos t+sin t),;-e^t(cos t-sin t),;1r),
llvertalpha'(t)timesalpha''(t)rrvert^2 =e^2tl[(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2r]+1 =2e^2t+1

Passo 4

Calculamos o determinante
detl(alpha'(t),alpha''(t),alpha'''(t)r) =2,e^t

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula da torção:
tau(t) =det(alpha',alpha'',alpha''')lvertalpha'timesalpha''rvert^2 =2,e^t2,e^2t+1

Resposta

tau(t)=2,e^t1+2,e^2t

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