Considerando a>0, b>0 e r>0, calcule a curvatura das seguintes curvas:
alpha(t)=(t, t^3)

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva paramétrica
alpha(t) = l(t,;t^3r),
com tinR.
O conteúdo da matéria envolvido é a definição de curvatura para curvas planas em coordenadas paramétricas, que exige as primeiras e segundas derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Identificamos as componentes
x(t)=t, y(t)=t^3
Calculamos suas derivadas:
x'(t)=1, x''(t)=0,
y'(t)=3t^2, y''(t)=6t

Passo 3

A fórmula da curvatura kappa(t) para uma curva (x(t),y(t)) é
kappa(t) =l|,x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)r|l[,(x'(t))^2+(y'(t))^2r]^3/2
Substituindo as derivadas obtidas,
x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t) =1cdot6t - 3t^2cdot0 = 6t,
e
(x'(t))^2+(y'(t))^2 = 1 + (3t^2)^2 = 1 + 9t^4

Passo 4

Logo a curvatura fica
kappa(t) =l|6tr|l(1+9t^4r)^3/2 =6,|t|l(1+9t^4r)^3/2

Resposta

kappa(t) =6,|t|l(1+9t^4r)^3/2

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