Considerando a>0, b>0 e r>0, calcule a curvatura das seguintes curvas:
alpha(t)=(cos t(2 cos t-1), sen t(2 cos t-1))

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
alpha(t)=l(x(t),y(t)r) =l(cos t,(2cos t-1),;sin t,(2cos t-1)r)
e pede a curvatura kappa(t). Vamos usar a fórmula
kappa(t) =lvert x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)rvert l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2

Passo 2

Defina beta(t)=2cos t-1. Então
x(t)=cos t,beta(t), y(t)=sin t,beta(t)
As derivadas de beta são
beta'(t)=-2sin t, beta''(t)=-2cos t
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x'(t)=-sin t,beta(t)+cos t,beta'(t) =-sin t,(2cos t-1)-2sin tcos t =sin t,(1-4cos t),
y'(t)=cos t,beta(t)+sin t,beta'(t) =2cos^2t-cos t-2sin^2t =2cos2t-cos t

Passo 3

Agora as segundas derivadas:
x''(t)=ddtl[sin t,(1-4cos t)r] =cos t,(1-4cos t)+4sin^2t =cos t-4cos2t,
y''(t)=ddt[,2cos2t-cos t,] =-4sin2t+sin t =sin t,(1-8cos t)

Passo 4

Calculamos o numerador
N = x'y''-y'x''
Substituindo e simplificando (com cos t=u), obtém-se
x'y''-y'x''=3,(3-2cos t)

Passo 5

Calculamos o denominador
D = l(x'^2+y'^2r)^3/2
Fazendo x'^2+y'^2 e simplificando sai
x'^2+y'^2=5-4cos t,
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D=(5-4cos t)^3/2

Passo 6

Montamos a curvatura:
kappa(t) =lvert NrvertD =3,(3-2cos t)(5-4cos t)^3/2,
já que 3-2cos t>0 para todo t.

Resposta

boxedkappa(t) =3,(3-2cos t)l(5-4cos tr)^3/2

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