Obtenha uma expressão para o valor do campo magnético B a uma distância r do eixo de um fio longo de raio a, percorrido por uma corrente i_{0}, para os seguintes casos: (a) r \leq a e (b) r \geq a.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético \mathbf{B} a uma distância r do eixo de um fio cilíndrico longo de raio a, percorrido por uma corrente total i_{0} uniformemente distribuída na seção. O conteúdo central aqui é a Lei de Ampère, que relaciona a circulação de \mathbf{B} a uma corrente envolvida pela curva fechada de integração.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, \mathbf{B} é tangencial aos círculos de raio r e tem módulo B(r) constante sobre cada percurso. A Lei de Ampère diz:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} \;=\;\mu_{0}\,I_{\rm enc}.
Como \mathbf{B} e d\mathbf{l} são paralelos e |d\mathbf{l}|=r\,d\varphi, a integral vira
B(r)\,\bigl(2\pi r\bigr)\;=\;\mu_{0}\,I_{\rm enc}.

Passo 3

Caso r\le a: somente a corrente contida no cilindro de raio r contribui, e como a distribuição é uniforme,
I_{\rm enc} = i_{0}\,\frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}} = i_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Logo
B(r)\,2\pi r =\mu_{0}\,i_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{2}} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\,\frac{r}{a^{2}}.

Passo 4

Caso r\ge a: toda a corrente i_{0} está dentro do percurso de raio r, ou seja I_{\rm enc}=i_{0}. Daí
B(r)\,2\pi r =\mu_{0}\,i_{0} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi\,r}.

Resposta

(a) Para r\le a:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\,\frac{r}{a^{2}}.
(b) Para r\ge a:
B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi\,r}.

Exercícios relacionados