Calcule o trabalho do campo
ao longo da curva
parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho do campo de forças
ao longo da curva
dada pela parametrização
Como estamos em
e suspeitamos que
seja conservativo, vamos verificar isso e, se for o caso, usar uma função potencial
para calcular o trabalho como
Passo 2
Verificamos o rotacional de
. Escrevendo
com
temos
Como todas as componentes concordam,
em
, que é simplesmente conexo. Logo,
é conservativo.
Passo 3
Construímos uma função potencial
satisfazendo
Integramos
em relação a
:
onde
é função arbitrária de
.
Depois impomos
Depois impomos
Em seguida
Podemos tomar a constante zero. Assim
Passo 4
Agora avaliamos
nos pontos finais da curva:
- Em ,
- Em
- Em
,
Portanto
Resposta
O trabalho do campo
ao longo de
é
.