Calcule o trabalho do campo F(x, y, z)=(2 x y z+sen x, x^2 z, x^2 y) ao longo da curva C parametrizada por c(t)=(cos ^5 t, sen^3 t, t^4) com t in[0, pi].

Passo 1

O enunciado pede o trabalho do campo de forças
F(x,y,z) = l(2,x,y,z + sen x,;x^2z,;x^2yr)
ao longo da curva C dada pela parametrização
c(t) = l(cos^5 t,;sen^3 t,;t^4r), tin[0,pi]
Como estamos em R^3 e suspeitamos que F seja conservativo, vamos verificar isso e, se for o caso, usar uma função potencial phi para calcular o trabalho como
integralC Fcdot dr = phil(c(pi)r) - phil(c(0)r)

Passo 2

Verificamos o rotacional de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com
P=2xyz+sen x, Q=x^2z, R=x^2y,
temos
partial Ppartial y=2xz, partial Qpartial x=2xz,
partial Ppartial z=2xy, partial Rpartial x=2xy,
partial Qpartial z=x^2, partial Rpartial y=x^2
Como todas as componentes concordam, nablatimes F=0 em R^3, que é simplesmente conexo. Logo, F é conservativo.

Passo 3

Construímos uma função potencial phi satisfazendo
partial phipartial x = 2xyz+sen x, partial phipartial y = x^2z, partial phipartial z = x^2y
Integramos partialphi/partial x em relação a x:
phi(x,y,z) = integrall(2xyz+sen xr),dx = x^2y,z - cos x + g(y,z),
onde g é função arbitrária de y,z.
Depois impomos
partial phipartial y = x^2z + partial gpartial y overset!=x^2z Longrightarrow partial gpartial y=0 ;Rightarrow;g=g(z)
Em seguida
partial phipartial z = x^2y + g'(z) overset!=x^2y Longrightarrow g'(z)=0 ;Rightarrow;g(z)=constante
Podemos tomar a constante zero. Assim
phi(x,y,z)=x^2y,z ;-;cos x

Passo 4

Agora avaliamos phi nos pontos finais da curva:
- Em t=pi,
c(pi)=l(cos^5 pi,;sen^3 pi,;pi^4r) =(-1,,0,,pi^4),
phil(c(pi)r) = (-1)^2cdot 0 cdot pi^4 - cos(-1) = -cos(1)
- Em t=0,
c(0)=(1,,0,,0),
phil(c(0)r) =1^2cdot 0 cdot 0 - cos(1) = -cos(1)
Portanto
phil(c(pi)r)-phil(c(0)r) = -cos(1) - l(-cos(1)r) =0

Resposta

O trabalho do campo F ao longo de C é 0.

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