Prove que a diferencial da função y=ln [sen^2(x)] é d y=2 cotg(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de y=lnl[sin^2(x)r]. O conteúdo usado será a regra da cadeia para diferenciais e a fórmula
d(ln u)=duu

Passo 2

Definimos u(x)=sin^2(x). Para calcular du aplicamos a regra da cadeia em diferenciais:
du=dl(sin^2(x)r)=2sin(x),dl(sin(x)r)
e como d(sin(x))=cos(x),dx, obtemos
du=2sin(x)cos(x),dx

Passo 3

Como y=ln u, a diferencial de y é dada por
dy=duu

Passo 4

Substituindo u=sin^2(x) e du=2sin(x)cos(x),dx na expressão anterior, fica
dy=2sin(x)cos(x),dxsin^2(x)

Passo 5

Ao simplificar
2sin(x)cos(x)sin^2(x)=2,cos(x)sin(x)=2cotg(x),
concluímos que
dy=2cotg(x),dx

Resposta

dy=2cotg(x),dx

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