Mostre que se x^2+y^2=a^2, então d y=-xy d x.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação de um círculo de raio a,
x^2+y^2=a^2,
e pede para determinar a variação dy em função de dx. Vamos usar o método de diferenciação implícita para relacionar dy e dx.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. Do lado esquerdo, aplicamos a regra da soma e, em y^2, a regra da cadeia:
ddxl(x^2+y^2r) =ddxl(x^2r)+ddxl(y^2r) =2x + 2y,dydx
No lado direito, como a é constante,
ddxl(a^2r)=0

Passo 3

Igualando as derivadas:
2x + 2y,dydx = 0 Longrightarrow 2y,dydx = -2x Longrightarrow dydx = -xy

Passo 4

Para passar ao formato de diferenciais, multiplicamos ambos os lados por dx:
dy = dydx,dx = -xy,dx

Resposta

dy = -xy,dx

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