Calcule o trabalho de uma compressão adiabática de um gás ideal entre os volumes \mathrm{V}_{0}-> 0,5 \mathrm{~V}_{0} nas seguintes condições:
a. gás monoatômico
b. gás diatômico (sem vibração)
c. gás poliatômico
d. Faça os gráficos deste processo no diagrama \mathrm{P} \times \mathrm{V}
e. Em qual caso o trabalho é maior? Explique fisicamente o porquê
f. Em qual caso a temperatura final é maior? Explique fisicamente o porquê.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o trabalho realizado numa compressão adiabática reversível de um gás ideal quando o volume cai de \mathrm{V}_0 para 0,5\,\mathrm{V}_0, para três tipos de gás (monoatômico, diatômico sem vibração e poliatômico). Além disso pede os gráficos no diagrama P\times V e perguntas qualitativas sobre qual caso tem maior trabalho e qual caso tem maior temperatura final. Informações dadas e objetivos listados:
  • Volume inicial: \mathrm{V}_0.
  • Volume final: \mathrm{V}_f = 0{,}5\,\mathrm{V}_0.
  • Processo: compressão adiabática (assumimos reversível).
  • Casos: (a) gás monoatômico; (b) gás diatômico sem vibração; (c) gás poliatômico (não vibracional).
  • Pedidos: calcular o trabalho da compressão (valor em função de P_0,V_0 ou nRT_0), desenhar/descrever os gráficos P\times V dos processos, dizer em qual caso o trabalho é maior (e por quê) e em qual caso a temperatura final é maior (e por quê).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicados devagar):
  • Para um gás ideal num processo adiabático reversível vale a relação de Poisson
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde \gamma é a razão dos calores específicos \gamma = \dfrac{C_p}{C_v}. Aqui P é a pressão, V o volume.
  • Outra forma útil é
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
onde T é a temperatura absoluta.
  • Trabalho feito pelo gás (convenção usual): W_{\text{by}}=\displaystyle\int_{V_0}^{V_f} P\,dV. Trabalho feito sobre o gás é W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}. Em uma compressão V_f<V_0 normalmente queremos o trabalho realizado sobre o gás (positivo).
  • Relação entre capacidades molares e \gamma: para um gás ideal monoatômico, diatômico e poliatômico (sem vibração) usamos os graus de liberdade:
    • monoatômico: f=3 \Rightarrow C_v=\tfrac{3}{2}R, \gamma=\tfrac{5}{3}.
    • diatômico (sem vibração): f=5 \Rightarrow C_v=\tfrac{5}{2}R, \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}4.
    • poliatômico (não linear, sem vibração): f=6 \Rightarrow C_v=3R, \gamma=\tfrac{4}{3}.
  • Relação útil para o trabalho adiabático (derivação a seguir): é prático expressar o trabalho em termos de P_0V_0 ou nR T_0.

Passo 3

Derivação do valor geral do trabalho para adiabática reversível (passo a passo):
  1. Como P V^{\gamma}=P_0 V_0^{\gamma}, podemos escrever
P=P_0 V_0^{\gamma} V^{-\gamma}.
  1. Trabalho feito pelo gás:
W_{\text{by}}=\int_{V_0}^{V_f} P\,dV =\int_{V_0}^{V_f} P_0 V_0^{\gamma} V^{-\gamma}\,dV = P_0 V_0^{\gamma}\int_{V_0}^{V_f} V^{-\gamma}\,dV.
  1. Calcule a integral. Como \gamma\neq1,
\int V^{-\gamma}\,dV=\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}.
Logo
W_{\text{by}} = P_0 V_0^{\gamma}\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_0}^{V_f} =\frac{P_0 V_0^{\gamma}}{1-\gamma}\left(V_f^{1-\gamma}-V_0^{1-\gamma}\right).
  1. Reescrevendo usando P V nos extremos: observe que P V = P_0 V_0^{\gamma} V^{1-\gamma}. Assim a expressão simplifica para
W_{\text{by}}=\frac{P_f V_f - P_0 V_0}{1-\gamma}.
  1. Trabalho feito sobre o gás (positivo na compressão) é
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}=\frac{P_0 V_0 - P_f V_f}{\gamma-1}.
  1. Usando P_0 V_0 = n R T_0 e a lei adiabática para temperatura T_f = T_0\left(\dfrac{V_0}{V_f}\right)^{\gamma-1}, podemos obter uma forma prática:
W_{\text{on}} = \frac{nR}{\gamma-1}\bigl(T_f - T_0\bigr) =\frac{P_0 V_0}{\gamma-1}\left[\left(\dfrac{V_0}{V_f}\right)^{\gamma-1}-1\right].
Essa última expressão é muito útil quando o problema dá apenas a razão de volumes (aqui V_0/V_f=2).

Passo 4

Aplicação ao caso específico V_f=0{,}5\,V_0 (ou seja V_0/V_f=2):
A fórmula compacta que vamos usar para cada \gamma é
W_{\text{on}}=\frac{P_0 V_0}{\gamma-1}\Bigl(2^{\,\gamma-1}-1\Bigr).
Também podemos usar a forma com nR T_0:
W_{\text{on}}=\frac{nR T_0}{\gamma-1}\Bigl(2^{\,\gamma-1}-1\Bigr).
Agora calculamos caso a caso com os \gamma apropriados.

Passo 5

Caso (a) gás monoatômico: \gamma=\tfrac{5}{3}.
  • \gamma-1=\tfrac{2}{3}.
  • 2^{\,\gamma-1}=2^{2/3}\approx 1{,}5874.
  • Então
W_{\text{on}}=\frac{P_0 V_0}{2/3}\bigl(1{,}5874-1\bigr) = \frac{P_0 V_0}{0{,}6666667}\times 0{,}5874 \approx 0{,}8809\,P_0 V_0.
Também pode ser escrito como W_{\text{on}}\approx 0{,}8809\,nR T_0.

Passo 6

Caso (b) gás diatômico (sem vibração): \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}4.
  • \gamma-1=0{,}4.
  • 2^{\,\gamma-1}=2^{0{,}4}\approx 1{,}3195.
  • Então
W_{\text{on}}=\frac{P_0 V_0}{0{,}4}\bigl(1{,}3195-1\bigr) =\frac{P_0 V_0}{0{,}4}\times 0{,}3195 \approx 0{,}7987\,P_0 V_0.
Ou W_{\text{on}}\approx 0{,}7987\,nR T_0.

Passo 7

Caso (c) gás poliatômico (não vibracional): \gamma=\tfrac{4}{3}.
  • \gamma-1=\tfrac{1}{3}\approx 0{,}33333.
  • 2^{\,\gamma-1}=2^{1/3}\approx 1{,}2599.
  • Então
W_{\text{on}}=\frac{P_0 V_0}{1/3}\bigl(1{,}2599-1\bigr) =\frac{P_0 V_0}{0{,}33333}\times 0{,}2599 \approx 0{,}7797\,P_0 V_0.
Ou W_{\text{on}}\approx 0{,}7797\,nR T_0.

Passo 8

Cálculo das pressões finais e temperaturas finais (para uso nos gráficos e na explicação):
  • Pressão final usando P_f = P_0\left(\dfrac{V_0}{V_f}\right)^{\gamma}=P_0\,2^{\gamma}.
    • Para monoatômico: P_f\approx P_0\cdot 2^{5/3}\approx 3{,}175\,P_0.
    • Para diatômico: P_f\approx P_0\cdot 2^{1{,}4}\approx 2{,}639\,P_0.
    • Para poliatômico: P_f\approx P_0\cdot 2^{4/3}\approx 2{,}520\,P_0.
  • Temperatura final usando T_f=T_0\left(\dfrac{V_0}{V_f}\right)^{\gamma-1}=T_0\,2^{\gamma-1}.
    • Para monoatômico: T_f\approx 1{,}5874\,T_0.
    • Para diatômico: T_f\approx 1{,}3195\,T_0.
    • Para poliatômico: T_f\approx 1{,}2599\,T_0.

Passo 9

Como desenhar os gráficos P\times V (orientação prática para a prova):
  • Cada processo adiabático é uma curva do tipo P(V)=P_0\left(\dfrac{V_0}{V}\right)^{\gamma}.
  • No gráfico com V no eixo horizontal e P no vertical, marque o ponto inicial (V_0,P_0) e o ponto final (0{,}5V_0,P_f) para cada \gamma.
  • As curvas são mais “íngremes” (aumentam mais rápido de P quando V diminui) quanto maior for \gamma. Assim a curva monoatômica ( \gamma=5/3) fica acima das outras para volumes menores; a poliatômica ( \gamma=4/3) é a menos íngreme.
  • Para desenho rápido: trace três curvas partindo do mesmo (V_0,P_0) e passando pelos respectivos (0{,}5V_0,P_f) com P_f calculados acima; a ordem em P_f é monoatômico > diatômico > poliatômico.

Passo 10

Comparações físicas (qual trabalho é maior e por quê):
  • Fórmula útil para física: W_{\text{on}}=n C_v (T_f-T_0). Aqui C_v cresce com o número de graus de liberdade.
  • Para um mesmo fator de compressão V_0/V_f=2 temos T_f/T_0=2^{\gamma-1}. O aumento relativo de temperatura T_f-T_0 é maior para maior \gamma. Porém C_v é menor para gases com menos graus de liberdade.
  • Resultado numérico (do Passo 5–7): o trabalho requerido é maior no gás monoatômico ( \approx 0{,}8809\,P_0V_0), seguido do diatômico ( \approx 0{,}7987\,P_0V_0) e por fim do poliatômico ( \approx 0{,}7797\,P_0V_0).
  • Intuição física: no monoatômico a energia não tem muitos “lugares” (graus de liberdade) para se armazenar, então uma compressão aumenta mais a temperatura e a pressão, exigindo mais trabalho. Gases com mais graus de liberdade (poliatômicos) “absorvem” parte da energia no aumento da energia interna por meio de modos rotacionais, então a mesma compressão exige um pouco menos de trabalho externo.

Passo 11

Comparação das temperaturas finais (qual é maior e por quê):
  • Pela fórmula T_f/T_0=2^{\gamma-1} vemos que quanto maior \gamma maior é a razão T_f/T_0.
  • Como \gamma_{\text{mono}}>\gamma_{\text{diat}}>\gamma_{\text{poli}}, a temperatura final é maior no caso monoatômico, depois diatômico, depois poliatômico.
  • Intuição física: compressão adiabática converte trabalho em energia interna. Para o mesmo fator de compressão, a dependência do aumento de temperatura é controlada por \gamma; com menos graus de liberdade (maior \gamma) ocorre maior aumento de temperatura relativa.

Resposta

(a) W_{\text{on}}=\dfrac{P_0 V_0}{\tfrac{5}{3}-1}\bigl(2^{\,\tfrac{5}{3}-1}-1\bigr)=\dfrac{P_0 V_0}{2/3}\bigl(2^{2/3}-1\bigr)\approx 0{,}8809\,P_0 V_0.\n
(b) W_{\text{on}}=\dfrac{P_0 V_0}{\tfrac{7}{5}-1}\bigl(2^{\,\tfrac{7}{5}-1}-1\bigr)=\dfrac{P_0 V_0}{0{,}4}\bigl(2^{0{,}4}-1\bigr)\approx 0{,}7987\,P_0 V_0.\n
(c) W_{\text{on}}=\dfrac{P_0 V_0}{\tfrac{4}{3}-1}\bigl(2^{\,\tfrac{4}{3}-1}-1\bigr)=\dfrac{P_0 V_0}{1/3}\bigl(2^{1/3}-1\bigr)\approx 0{,}7797\,P_0 V_0.\n
(d) Gráficos: são adiabatas P(V)=P_0\bigl(V_0/V\bigr)^{\gamma}. Partindo de (V_0,P_0) até (0{,}5V_0,P_f), com P_f=P_0\,2^{\gamma}. A ordem em inclinação/pressão final é monoatômico ( \gamma=5/3, mais íngreme) > diatômico ( \gamma=7/5) > poliatômico ( \gamma=4/3, menos íngreme).\n
(e) O trabalho é maior no gás monoatômico. Física: para a mesma compressão o aumento relativo de temperatura T_f/T_0=2^{\gamma-1} é maior quando \gamma é maior, e, combinando isso com W_{\text{on}}=nC_v(T_f-T_0), resulta que o produto leva a maior W_{\text{on}} para monoatômico (menos graus de liberdade significa menos “reservatórios” internos para a energia, logo mais subida de T e mais trabalho necessário).\n
(f) A temperatura final é maior no gás monoatômico (pois T_f/T_0=2^{\gamma-1} e \gamma_{\text{mono}}>\gamma_{\text{diat}}>\gamma_{\text{poli}}).

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