Calcule o trabalho de uma compressão adiabática de um gás ideal entre os volumes
->
nas seguintes condições:
a. gás monoatômico
b. gás diatômico (sem vibração)
c. gás poliatômico
d. Faça os gráficos deste processo no diagrama
e. Em qual caso o trabalho é maior? Explique fisicamente o porquê
f. Em qual caso a temperatura final é maior? Explique fisicamente o porquê.
a. gás monoatômico
b. gás diatômico (sem vibração)
c. gás poliatômico
d. Faça os gráficos deste processo no diagrama
e. Em qual caso o trabalho é maior? Explique fisicamente o porquê
f. Em qual caso a temperatura final é maior? Explique fisicamente o porquê.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o trabalho realizado numa compressão adiabática reversível de um gás ideal quando o volume cai de
para
, para três tipos de gás (monoatômico, diatômico sem vibração e poliatômico). Além disso pede os gráficos no diagrama
e perguntas qualitativas sobre qual caso tem maior trabalho e qual caso tem maior temperatura final. Informações dadas e objetivos listados:
- Volume inicial:
. - Volume final:
. - Processo: compressão adiabática (assumimos reversível).
- Casos: (a) gás monoatômico; (b) gás diatômico sem vibração; (c) gás poliatômico (não vibracional).
- Pedidos: calcular o trabalho da compressão (valor em função de
ou ), desenhar/descrever os gráficos dos processos, dizer em qual caso o trabalho é maior (e por quê) e em qual caso a temperatura final é maior (e por quê).
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicados devagar):
- Para um gás ideal num processo adiabático reversível vale a relação de Poisson
onde
é a razão dos calores específicos
. Aqui
é a pressão,
o volume.
- Outra forma útil é
onde
é a temperatura absoluta.
- Trabalho feito pelo gás (convenção usual):
. Trabalho feito sobre o gás é . Em uma compressão normalmente queremos o trabalho realizado sobre o gás (positivo). - Relação entre capacidades molares e
: para um gás ideal monoatômico, diatômico e poliatômico (sem vibração) usamos os graus de liberdade: - monoatômico:
, . - diatômico (sem vibração):
, . - poliatômico (não linear, sem vibração):
, .
- monoatômico:
- Relação útil para o trabalho adiabático (derivação a seguir): é prático expressar o trabalho em termos de
ou .
Passo 3
Derivação do valor geral do trabalho para adiabática reversível (passo a passo):
- Como
, podemos escrever
- Trabalho feito pelo gás:
- Calcule a integral. Como
,
Logo
- Reescrevendo usando
nos extremos: observe que . Assim a expressão simplifica para
- Trabalho feito sobre o gás (positivo na compressão) é
- Usando
e a lei adiabática para temperatura , podemos obter uma forma prática:
Essa última expressão é muito útil quando o problema dá apenas a razão de volumes (aqui
).
Passo 4
Aplicação ao caso específico
(ou seja
):
A fórmula compacta que vamos usar para cada é
A fórmula compacta que vamos usar para cada
Também podemos usar a forma com
:
Agora calculamos caso a caso com os
apropriados.
Passo 5
Caso (a) gás monoatômico:
.
-
. -
. - Então
Também pode ser escrito como
.
Passo 6
Caso (b) gás diatômico (sem vibração):
.
-
. -
. - Então
Ou
.
Passo 7
Caso (c) gás poliatômico (não vibracional):
.
-
. -
. - Então
Ou
.
Passo 8
Cálculo das pressões finais e temperaturas finais (para uso nos gráficos e na explicação):
- Pressão final usando
. - Para monoatômico:
. - Para diatômico:
. - Para poliatômico:
.
- Para monoatômico:
- Temperatura final usando
. - Para monoatômico:
. - Para diatômico:
. - Para poliatômico:
.
- Para monoatômico:
Passo 9
Como desenhar os gráficos
(orientação prática para a prova):
- Cada processo adiabático é uma curva do tipo
. - No gráfico com
no eixo horizontal e no vertical, marque o ponto inicial e o ponto final para cada . - As curvas são mais “íngremes” (aumentam mais rápido de
quando diminui) quanto maior for . Assim a curva monoatômica ( ) fica acima das outras para volumes menores; a poliatômica ( ) é a menos íngreme. - Para desenho rápido: trace três curvas partindo do mesmo
e passando pelos respectivos com calculados acima; a ordem em é monoatômico > diatômico > poliatômico.
Passo 10
Comparações físicas (qual trabalho é maior e por quê):
- Fórmula útil para física:
. Aqui cresce com o número de graus de liberdade. - Para um mesmo fator de compressão
temos . O aumento relativo de temperatura é maior para maior . Porém é menor para gases com menos graus de liberdade. - Resultado numérico (do Passo 5–7): o trabalho requerido é maior no gás monoatômico (
), seguido do diatômico ( ) e por fim do poliatômico ( ). - Intuição física: no monoatômico a energia não tem muitos “lugares” (graus de liberdade) para se armazenar, então uma compressão aumenta mais a temperatura e a pressão, exigindo mais trabalho. Gases com mais graus de liberdade (poliatômicos) “absorvem” parte da energia no aumento da energia interna por meio de modos rotacionais, então a mesma compressão exige um pouco menos de trabalho externo.
Passo 11
Comparação das temperaturas finais (qual é maior e por quê):
- Pela fórmula
vemos que quanto maior maior é a razão . - Como
, a temperatura final é maior no caso monoatômico, depois diatômico, depois poliatômico. - Intuição física: compressão adiabática converte trabalho em energia interna. Para o mesmo fator de compressão, a dependência do aumento de temperatura é controlada por
; com menos graus de liberdade (maior ) ocorre maior aumento de temperatura relativa.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) Gráficos: são adiabatas . Partindo de
até
, com
. A ordem em inclinação/pressão final é monoatômico (
, mais íngreme) > diatômico (
) > poliatômico (
, menos íngreme).\n
(e) O trabalho é maior no gás monoatômico. Física: para a mesma compressão o aumento relativo de temperatura é maior quando
é maior, e, combinando isso com
, resulta que o produto leva a maior
para monoatômico (menos graus de liberdade significa menos “reservatórios” internos para a energia, logo mais subida de
e mais trabalho necessário).\n
(f) A temperatura final é maior no gás monoatômico (pois e
).
(b)
(c)
(d) Gráficos: são adiabatas
(e) O trabalho é maior no gás monoatômico. Física: para a mesma compressão o aumento relativo de temperatura
(f) A temperatura final é maior no gás monoatômico (pois