Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força
\vec{F}(x, y)=(2 x-y, x+3 y)
ao longo da curva y=\sqrt{4-4 x^{2}} de (1,0) a (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força \vec F(x,y)=(2x-y,\;x+3y) ao mover uma partícula ao longo da curva y=\sqrt{4-4x^2} de (1,0) até (-1,0). Vamos calcular o integral de linha
W=\int_C\vec F\cdot d\vec r
usando parametrização da curva.

Passo 2

Observando y^2=4-4x^2, note que podemos usar a parametrização
x(t)=\cos t,\quad y(t)=2\sin t,
com t variando de 0 a \pi. Nesse caso (x(0),y(0))=(1,0) e (x(\pi),y(\pi))=(-1,0).

Passo 3

Calculamos as diferenciais
dx=-\sin t\,dt,\quad dy=2\cos t\,dt
e expressamos \vec F em função de t:
F_1=2x-y=2\cos t-2\sin t, \quad F_2=x+3y=\cos t+6\sin t.

Passo 4

O integrando \vec F\cdot d\vec r=F_1\,dx+F_2\,dy fica
(2\cos t-2\sin t)(-\,\sin t\,dt)+(\cos t+6\sin t)(2\cos t\,dt) = \bigl[10\sin t\cos t+2\bigr]\,dt = \bigl[5\sin2t+2\bigr]\,dt.

Passo 5

Agora integramos de t=0 a t=\pi:
W=\int_{0}^{\pi}\bigl[5\sin2t+2\bigr]\,dt =\Bigl[-\tfrac{5}{2}\cos2t+2t\Bigr]_{0}^{\pi} =2\pi.

Resposta

O trabalho vale 2\pi.

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