Uma possível parametrização para a curva dada pela equação (x+1)^2+y^2=16, com -4 <= y <= 0 é
lx(t)=1+4 cos t y(t)=4 sen t, 0 <= t <= pi.
lx(t)=-1+4 cos t y(t)=4 sen t, 0 <= t <= pi.
lx(t)=-1+4 cos t y(t)=4 sen t, pi2 <= t <= 3 pi2.
lx(t)=1+4 cos t y(t)=4 sen t, pi <= t <= 2 pi.
lx(t)=-1+4 cos t y(t)=4 sen t, pi <= t <= 2 pi.
outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma parametrização para a curva definida pela equação (x+1)^2+y^2=16, com a condição de que -4 <= y <= 0. Estamos lidando com parametrização de curvas, que é uma forma de descrever uma curva usando uma ou mais variáveis auxiliares (neste caso, o parâmetro t). Para resolver isso, vamos lembrar como parametrizar círculos e ajustar de acordo com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação (x+1)^2+y^2=16. Essa é a equação de um círculo com centro em (-1, 0) e raio 4, porque a forma geral é (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, onde (h,k) é o centro e r é o raio.

Passo 3

Sabendo que estamos trabalhando com um círculo, a parametrização padrão de um círculo com centro em (h, k) e raio r é:
l x(t) = h + r cos t y(t) = k + r sin t , alpha <= t <= beta
No nosso caso, h = -1, k = 0 e r = 4. Então, substituindo esses valores, temos:
l x(t) = -1 + 4 cos t y(t) = 0 + 4 sin t , alpha <= t <= beta
Ou seja:
l x(t) = -1 + 4 cos t y(t) = 4 sin t , alpha <= t <= beta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de t que atendem à condição -4 <= y <= 0. Sabemos que y(t) = 4 sin t, então:
-4 <= 4 sin t <= 0
Dividindo todos os termos por 4:
-1 <= sin t <= 0
Isso significa que t deve estar nos intervalos onde o seno está entre -1 e 0, ou seja, de pi2 a 3pi2.

Passo 5

Portanto, a parametrização que atende todas as condições é:
l x(t) = -1 + 4 cos t y(t) = 4 sin t , pi2 <= t <= 3pi2

Resposta

A parametrização correta é
l x(t) = -1 + 4 cos t y(t) = 4 sin t , pi2 <= t <= 3pi2

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