Calcule o trabalho quando um mol de um gás de van der Waals \left(a=0,556 \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~Pa} \mathrm{~mol}^{-2} \mathrm{e} \mathrm{b}=\right. 0,064 \mathrm{dm}^{3} mol-1) expande-se isotérmica e reversivelmente de 20 \mathrm{dm}^{3} para 60 \mathrm{dm}^{3}, a uma temperatura de a 300 K .

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás de van der Waals com parâmetros
a = 0,556\;\mathrm{m^6\,Pa\,mol^{-2}} \quad\text{e}\quad b = 0,064\;\mathrm{dm^3\,mol^{-1}}
e pede o trabalho de uma expansão isotérmica e reversível de V_1=20\;\mathrm{dm^3} para V_2=60\;\mathrm{dm^3} a T=300\;\mathrm K.
Conteúdo: termodinâmica de gases reais, trabalho reversível
W=-\int_{V_1}^{V_2}P_{\rm int}\,dV
com P_{\rm int} dado pela equação de van der Waals.

Passo 2

Escrevendo o trabalho reversível e usando
P = \frac{RT}{V - b} \;-\;\frac{a}{V^2},
temos
W = -\int_{V_1}^{V_2}\Bigl(\frac{RT}{V - b}-\frac{a}{V^2}\Bigr)\,dV.
Integramos em dois termos:
\int\frac{RT}{V-b}\,dV = RT\ln\frac{V_2-b}{V_1-b}, \qquad \int\frac{a}{V^2}\,dV = -\frac{a}{V}\Big|_{V_1}^{V_2} = a\Bigl(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\Bigr).
Logo
W = -RT\ln\frac{V_2 - b}{V_1 - b}\;-\;a\Bigl(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\Bigr).

Passo 3

Convertemos volumes e b para o SI:
V_1=20\;\mathrm{dm^3}=0,020\;\mathrm m^3,\quad V_2=60\;\mathrm{dm^3}=0,060\;\mathrm m^3,\quad b=0,064\;\mathrm{dm^3}=6,4\times10^{-5}\;\mathrm m^3.
Substituindo R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\,K)} e T=300\;\mathrm K:
RT\ln\frac{V_2-b}{V_1-b} =8{,}314\cdot300\;\ln\frac{0,060-6{,}4\times10^{-5}}{0,020-6{,}4\times10^{-5}} \approx2{,}75\times10^3\;\mathrm J,
a\Bigl(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\Bigr) =0{,}556\;\bigl(16{,}67-50\bigr)\approx-18{,}5\;\mathrm J.
Portanto
W=-2{,}75\times10^3\;-\;(-18{,}5) \approx-2{,}73\times10^3\;\mathrm J.

Resposta

W \approx -2{,}73\times10^{3}\;\text{J}.

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