Uma partícula de massa
está sujeita a uma força gravitacional do tipo
(
). No instante inicial
, é dado que
e
. (a) Calcule
. (b) Calcule o tempo que a partícula leva para atingir a altura máxima, em função de
. (c) Calcule a velocidade de escape
. (d) Obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
sujeita a uma força vertical dependente do tempo. As informações e o que é pedido são:
- Força:
, com e . - Condições iniciais no instante
: e , com .
Perguntas:
(a) Calcular .
(b) Calcular o tempo que a partícula leva para atingir a altura máxima, em função de .
(c) Calcular a velocidade de escape .
(d) Obter .
(a) Calcular
(b) Calcular o tempo que a partícula leva para atingir a altura máxima, em função de
(c) Calcular a velocidade de escape
(d) Obter
Todas as grandezas vetoriais são na direção
(eixo vertical). Não começamos a resolver ainda; só enumerei os dados e o que se pede.
Passo 2
Vamos usar a relação fundamental entre força e aceleração:
. Aqui isso dá a componente vertical da aceleração. Escrevo isso e explico passo a passo.
A aceleração vertical é
Isto significa que a componente vertical da aceleração
satisfaz
Para obter a velocidade usamos integração temporal. Integramos ambas as lados de
até
:
O lado esquerdo é simplesmente
. O lado direito é uma integral de exponencial; a primitiva de
é
. Portanto:
Simplificando:
Assim
Voltando à forma vetorial, temos
Pequena verificação: em
obtemos
(ok). No limite
,
e
.
Passo 3
Agora encontramos o tempo
em que a partícula atinge a altura máxima. Conceito: a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula momentaneamente, isto é
.
Usamos a expressão obtida:
Rearranjando:
Dividindo por
(positivo):
Agora para isolar
aplicamos logaritmo natural. Antes, atenção ao domínio: o lado esquerdo
está em
. Então o lado direito deve estar entre
e
, isto é
Isto significa que existe um tempo finito de retorno (tempo finito para v=0) somente se
. Se
então o lado direito é
e
só quando
— ou seja, a partícula alcança o topo somente no infinito (velocidade tende a zero assintoticamente). Se
então o lado direito é negativo e não há solução: a velocidade nunca zera (a partícula continua subindo para sempre, ou seja, escapa).
Para o caso
, tomamos log:
Logo
Interpretação física rápida: para pequenas
(gravidade decai lentamente) essa expressão aproxima a fórmula do caso de
constante; para
grande (gravidade decai rápido) fica mais fácil escapar.
Passo 4
Definimos velocidade de escape
como o menor
(na direção positiva
) tal que a partícula não retorna — isto é, que sua velocidade quando
seja não negativa. Como vimos antes,
Para que a partícula escape precisamos de
. Portanto a velocidade de escape mínima é
Se
ela escapa com velocidade residual
quando
. Se
ela atinge infinito com velocidade tendendo a zero.
Passo 5
Finalmente obtemos a posição
. Sabemos que
. Integramos a expressão de
de
até
, usando
.
Partimos de
Integrando:
A primeira integral é simples:
. A segunda é novamente integral de exponencial com primitiva
. Assim:
Calculando os limites:
Portanto a posição vertical é
Em forma vetorial:
Observações físicas rápidas: se
a função
atinge um máximo em
dado no Passo 3 e depois decai; se
então o termo linear em
desaparece e
tende a
quando
; se
então
aproximadamente linear em
pois o termo
domina.
Resposta
(a)
\n
(b) , válido para
. \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)