Uma partícula de massa
move-se num plano horizontal, com sua posição dada por
e
. Calcule (a)
e (b)
em coordenadas polares. (c) Prove que a força atuando na partícula é radial. (d) Quais definições ou leis da mecânica clássica foram usadas implicitamente na prova do item (c)? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
-
Dados fornecidos:
- A posição da partícula em coordenadas polares é
com . - A coordenada angular é
. - Aqui
é constante (velocidade angular constante), é uma constante inicial e são os versores polares dependentes de .
- A posição da partícula em coordenadas polares é
-
O que o enunciado pergunta:
(a) Calcular(velocidade) em coordenadas polares.
(b) Calcular(aceleração) em coordenadas polares.
(c) Mostrar que a força atuando na partícula é radial.
(d) Dizer quais definições ou leis da mecânica clássica foram usadas implicitamente na demonstração do item (c).
Observação: não resolvemos nada ainda; apenas listamos dados e pedidos.
Passo 2
Relembrando e demonstrando propriedades básicas de coordenadas polares que vamos usar (aula rapidinha e prática).
- Definição dos versores polares em termos de versores cartesianos
:
Aqui
.
-
Derivadas temporais desses versores (vamos calcular com regra da cadeia):
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
- Diferenciando
-
Conclusão útil (fórmulas padrões em coordenadas polares):
Essas fórmulas são essenciais porque, embora
seja constante, os versores
e
mudam de direção com o tempo.
Passo 3
Calcular a velocidade
. Lembrete: velocidade é derivada temporal da posição.
- Aplicamos a definição:
- Usamos a regra do produto (aqui
é constante, logo ):
- Substituímos
(do Passo 2):
- Como
temos (velocidade angular constante). Portanto
Interpretação curta: a velocidade é puramente tangencial (
), com magnitude
.
Passo 4
Calcular a aceleração
. Lembrete: aceleração é derivada temporal da velocidade.
- Começamos com
. Derivando:
- Aplicamos a regra do produto. Aqui
é constante, mas e dependem de :
- Substituímos
(do Passo 2):
- No nosso caso
e (velocidade angular constante), logo o termo em some:
Interpretação curta: aceleração é puramente radial, apontando para o centro (sinal negativo em
indica direção para dentro), com magnitude
. Este é o famoso termo centrípeto.
Passo 5
Provar que a força atuando na partícula é radial (item (c)).
- Usamos a segunda lei de Newton (forma usual da mecânica clássica):
onde
é a massa (constante) e
a aceleração que encontramos.
- Substituindo
:
- Conclusão:
é um vetor na direção (radial), com sentido para o centro (sinal negativo). Portanto a força é radial.
Passo 6
Listar e justificar as definições e leis de mecânica clássica usadas implicitamente (item (d)).
- Definição de velocidade como derivada da posição:
Justificativa: usamos essa definição ao calcular
no Passo 3.
- Definição de aceleração como derivada da velocidade:
Justificativa: usada no Passo 4 para obter
.
- Expressões dos versores polares e suas derivadas:
Justificativa: sem essas relações não dá para relacionar a variação de direção dos versores com
e obter os termos tangencial e centrípeto.
- Segunda lei de Newton:
Justificativa: usada para deduzir que a força é radial a partir da aceleração radial.
-
Regras de diferenciação (regra do produto e regra da cadeia):
Justificativa: aplicadas em todas as derivações temporais (derivar, , etc.). -
Pressupostos da mecânica clássica:
- Massa
constante (não-relativístico, não dependente do tempo). - Espaço e tempo absolutos (Galileu/Newton), ou seja, definições de derivada temporal usuais aplicáveis.
- Massa
Esses itens são suficientes para justificar rigorosamente o passo de “aceleração → força radial”.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(logo a força é puramente radial, apontando para o centro).
(d) Foram usadas as definições e leis:
,
, as fórmulas dos versores polares e suas derivadas
,
, a regra do produto/da cadeia para derivação, e a segunda lei de Newton
(com massa constante).