Uma partícula de massa m move-se num plano horizontal, com sua posição dada por \vec{r}=r_{0} \hat{r} \left(r_{0}>0\right) e \theta(t)=\left(\theta_{0}+\omega t\right) \hat{\theta}. Calcule (a) \vec{v}(t) e (b) \vec{a}(t) em coordenadas polares. (c) Prove que a força atuando na partícula é radial. (d) Quais definições ou leis da mecânica clássica foram usadas implicitamente na prova do item (c)? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
  • Dados fornecidos:
    • A posição da partícula em coordenadas polares é \vec{r}(t)=r_{0}\,\hat{r} com r_{0}>0.
    • A coordenada angular é \theta(t)=\theta_{0}+\omega t.
    • Aqui \omega é constante (velocidade angular constante), \theta_{0} é uma constante inicial e \hat{r},\hat{\theta} são os versores polares dependentes de \theta(t).
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) Calcular \vec{v}(t) (velocidade) em coordenadas polares.
    (b) Calcular \vec{a}(t) (aceleração) em coordenadas polares.
    (c) Mostrar que a força atuando na partícula é radial.
    (d) Dizer quais definições ou leis da mecânica clássica foram usadas implicitamente na demonstração do item (c).
Observação: não resolvemos nada ainda; apenas listamos dados e pedidos.

Passo 2

Relembrando e demonstrando propriedades básicas de coordenadas polares que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • Definição dos versores polares em termos de versores cartesianos \hat{i},\hat{j}:
\hat{r} = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j},
\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}.
Aqui \theta=\theta(t).
  • Derivadas temporais desses versores (vamos calcular com regra da cadeia):
    • Diferenciando \hat{r}:
    \frac{d\hat{r}}{dt} = -\sin\theta\,\dot{\theta}\,\hat{i} + \cos\theta\,\dot{\theta}\,\hat{j} = \dot{\theta}\big(-\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}\big) = \dot{\theta}\,\hat{\theta}.
    • Diferenciando \hat{\theta}:
    \frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\cos\theta\,\dot{\theta}\,\hat{i} - \sin\theta\,\dot{\theta}\,\hat{j} = -\dot{\theta}\big(\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}\big) = -\dot{\theta}\,\hat{r}.
  • Conclusão útil (fórmulas padrões em coordenadas polares):
\dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta},\qquad \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}.
Essas fórmulas são essenciais porque, embora r_{0} seja constante, os versores \hat{r} e \hat{\theta} mudam de direção com o tempo.

Passo 3

Calcular a velocidade \vec{v}(t). Lembrete: velocidade é derivada temporal da posição.
  • Aplicamos a definição:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(r_{0}\,\hat{r}\big).
  • Usamos a regra do produto (aqui r_{0} é constante, logo \dot{r_{0}}=0):
\vec{v} = \dot{r_{0}}\,\hat{r} + r_{0}\,\dot{\hat{r}} = 0\cdot\hat{r} + r_{0}\,\dot{\hat{r}} = r_{0}\,\dot{\hat{r}}.
  • Substituímos \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta} (do Passo 2):
\vec{v} = r_{0}\,\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
  • Como \theta(t)=\theta_{0}+\omega t temos \dot{\theta}=\omega (velocidade angular constante). Portanto
\vec{v}(t)=r_{0}\,\omega\,\hat{\theta}.
Interpretação curta: a velocidade é puramente tangencial ( \hat{\theta}), com magnitude r_{0}\omega.

Passo 4

Calcular a aceleração \vec{a}(t). Lembrete: aceleração é derivada temporal da velocidade.
  • Começamos com \vec{v}=r_{0}\,\dot{\theta}\,\hat{\theta}. Derivando:
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(r_{0}\,\dot{\theta}\,\hat{\theta}\big).
  • Aplicamos a regra do produto. Aqui r_{0} é constante, mas \dot{\theta} e \hat{\theta} dependem de t:
\vec{a} = r_{0}\,\ddot{\theta}\,\hat{\theta} + r_{0}\,\dot{\theta}\,\dot{\hat{\theta}}.
  • Substituímos \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r} (do Passo 2):
\vec{a} = r_{0}\,\ddot{\theta}\,\hat{\theta} + r_{0}\,\dot{\theta}\big(-\dot{\theta}\,\hat{r}\big) = r_{0}\,\ddot{\theta}\,\hat{\theta} - r_{0}\,\dot{\theta}^{2}\,\hat{r}.
  • No nosso caso \dot{\theta}=\omega e \ddot{\theta}=0 (velocidade angular constante), logo o termo em \hat{\theta} some:
\vec{a}(t) = -\,r_{0}\,\dot{\theta}^{2}\,\hat{r} = -\,r_{0}\,\omega^{2}\,\hat{r}.
Interpretação curta: aceleração é puramente radial, apontando para o centro (sinal negativo em \hat{r} indica direção para dentro), com magnitude r_{0}\omega^{2}. Este é o famoso termo centrípeto.

Passo 5

Provar que a força atuando na partícula é radial (item (c)).
  • Usamos a segunda lei de Newton (forma usual da mecânica clássica):
\vec{F}=m\,\vec{a},
onde m é a massa (constante) e \vec{a} a aceleração que encontramos.
  • Substituindo \vec{a}(t)=-r_{0}\omega^{2}\,\hat{r}:
\vec{F}(t) = m\big(-r_{0}\omega^{2}\,\hat{r}\big) = -m\,r_{0}\,\omega^{2}\,\hat{r}.
  • Conclusão: \vec{F}(t) é um vetor na direção \hat{r} (radial), com sentido para o centro (sinal negativo). Portanto a força é radial.

Passo 6

Listar e justificar as definições e leis de mecânica clássica usadas implicitamente (item (d)).
  • Definição de velocidade como derivada da posição:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Justificativa: usamos essa definição ao calcular \vec{v} no Passo 3.
  • Definição de aceleração como derivada da velocidade:
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Justificativa: usada no Passo 4 para obter \vec{a}.
  • Expressões dos versores polares e suas derivadas:
\hat{r}=\cos\theta\,\hat{i}+\sin\theta\,\hat{j},\quad \hat{\theta}=-\sin\theta\,\hat{i}+\cos\theta\,\hat{j},
\dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta},\quad \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}.
Justificativa: sem essas relações não dá para relacionar a variação de direção dos versores com \dot{\theta} e obter os termos tangencial e centrípeto.
  • Segunda lei de Newton:
\vec{F}=m\,\vec{a}.
Justificativa: usada para deduzir que a força é radial a partir da aceleração radial.
  • Regras de diferenciação (regra do produto e regra da cadeia):
    Justificativa: aplicadas em todas as derivações temporais (derivar r_{0}\hat{r}, \dot{\theta}\hat{\theta}, etc.).
  • Pressupostos da mecânica clássica:
    • Massa m constante (não-relativístico, não dependente do tempo).
    • Espaço e tempo absolutos (Galileu/Newton), ou seja, definições de derivada temporal usuais aplicáveis.
Esses itens são suficientes para justificar rigorosamente o passo de “aceleração → força radial”.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=r_{0}\,\omega\,\hat{\theta}.
(b) \vec{a}(t)=-\,r_{0}\,\omega^{2}\,\hat{r}.
(c) \vec{F}(t)=m\,\vec{a}(t)=-m\,r_{0}\,\omega^{2}\,\hat{r} (logo a força é puramente radial, apontando para o centro).
(d) Foram usadas as definições e leis: \vec{v}=d\vec{r}/dt, \vec{a}=d\vec{v}/dt, as fórmulas dos versores polares e suas derivadas \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\hat{\theta}, \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\hat{r}, a regra do produto/da cadeia para derivação, e a segunda lei de Newton \vec{F}=m\vec{a} (com massa constante).

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