Calcule o trabalho realizado quando 2,000 mol de um gás ideal que ocupa um volume de 15,00 L a 25^circ C é expandido adiabaticamente de uma pressão de 10,00 atm contra uma pressão externa constante de 1,000 atm até que sua pressão atinja 1,000 atm. Calcule também De para esta mudança de estado.

Passo 1

Então, o que temos aqui? A questão é de termodinâmica e trata de uma expansão adiabática irreversível de um gás ideal.
Enunciado resumido: 2 000 mol de um gás ideal, inicialmente em V₁ = 15,00 L e T₁ = 25 °C, P₁ = 10,00 atm, expande contra pressão externa constante Pₑₓₜ = 1,000 atm até que a pressão interna chegue a P₂ = 1,000 atm. Precisamos calcular:
  1. O trabalho w realizado pelo gás
  2. A variação de entropia ΔS desse processo
O que a gente vai usar:
  • 1ª Lei: ΔU = q + w, mas aqui q = 0 (adiabático), logo ΔU = w
  • Para um gás ideal: ΔU = n·Cᵥ·(T₂ – T₁)
  • Trabalho contra pressão externa constante: w = -Pext,(V2 - V1)
  • Equação de estado ideal no estado final: P2V2 = nRT2
  • Entropia de um gás ideal: De
Para simplificar, vamos assumir um gás diatômico (γ = 1,40 ⇒ Cᵥ = 5/2·R).

Passo 2

Escrevendo as equações-chave:
  1. ΔU = n·Cᵥ·(T₂ – T₁)
  2. w = -Pₑₓₜ·(V₂ - V₁)
  3. Como q = 0 ⇒ ΔU = w ⇒ nCv(T2 - T1) = -Prm ext(V2 - V1)
    4) No estado final vale a equação dos gases ideais:
    P2V2 = nR,T2
Com isso podemos eliminar V₂ e achar T₂ antes de tudo.

Passo 3

Isolando T₂:
De 3) e 4) temos
nCv(T2 - T1) = -Prm extl(nR,T2P2-V1r)
Reorganizando:
nCv,T2 + Prm extnRP2T2 = nCv,T1 + Prm extV1
Como aqui Pₑₓₜ = P₂, o termo Prm ext/P2=1. Logo:
T2 = nCv,T1 + Prm ext,V1n,(Cv + R)
Substituindo números (R = 8,314 J/mol·K, Cᵥ = 5/2·R, n = 2000, T₁ = 298 K, Pₑₓₜ = 1,000 atm = 1,013×10⁵ Pa, V₁ = 15,00 L = 0,015 m³):
T₂ ≈ 212,9 K

Passo 4

Agora V₂ via V2 = dfracnR,T2P2:
V2 = 2000cdot8,314cdot212,91,013times10^5; m^3 approx 34,94; m^3

Passo 5

O trabalho:
w = -Prm ext(V2 - V1) = -1,013times10^5l(34,94 - 0,015r);J approx -3,54times10^6;J

Passo 6

Variação de entropia usando
De
Numericamente:
ln(T₂/T₁)=ln(212,9/298)≈–0,336
ln(V₂/V₁)=ln(34,94/0,015)≈7,751
Logo
ΔS ≈ 2000·(5/2·8,314)·(–0,336) + 2000·8,314·7,751
≈ –13 972 + 128 884
≈ 1,15×10^5 J/K

Resposta

w ≈ –3,54×10^6 J
ΔS ≈ +1,15×10^5 J/K

Exercícios relacionados