Calcule o trabalho realizado quando
de um gás ideal que ocupa um volume de
a
é expandido adiabaticamente de uma pressão de
contra uma pressão externa constante de
até que sua pressão atinja
. Calcule também
para esta mudança de estado.
Passo 1
Então, o que temos aqui? A questão é de termodinâmica e trata de uma expansão adiabática irreversível de um gás ideal.
Enunciado resumido: 2 000 mol de um gás ideal, inicialmente em V₁ = 15,00 L e T₁ = 25 °C, P₁ = 10,00 atm, expande contra pressão externa constante Pₑₓₜ = 1,000 atm até que a pressão interna chegue a P₂ = 1,000 atm. Precisamos calcular:
Enunciado resumido: 2 000 mol de um gás ideal, inicialmente em V₁ = 15,00 L e T₁ = 25 °C, P₁ = 10,00 atm, expande contra pressão externa constante Pₑₓₜ = 1,000 atm até que a pressão interna chegue a P₂ = 1,000 atm. Precisamos calcular:
- O trabalho w realizado pelo gás
- A variação de entropia ΔS desse processo
O que a gente vai usar:
- 1ª Lei: ΔU = q + w, mas aqui q = 0 (adiabático), logo ΔU = w
- Para um gás ideal: ΔU = n·Cᵥ·(T₂ – T₁)
- Trabalho contra pressão externa constante:
- Equação de estado ideal no estado final:
- Entropia de um gás ideal:
Para simplificar, vamos assumir um gás diatômico (γ = 1,40 ⇒ Cᵥ = 5/2·R).
Passo 2
Escrevendo as equações-chave:
- ΔU = n·Cᵥ·(T₂ – T₁)
- w = -Pₑₓₜ·(V₂ - V₁)
- Como q = 0 ⇒ ΔU = w ⇒
4) No estado final vale a equação dos gases ideais:
Com isso podemos eliminar V₂ e achar T₂ antes de tudo.
Passo 3
Isolando T₂:
De 3) e 4) temos
De 3) e 4) temos
Reorganizando:
Como aqui Pₑₓₜ = P₂, o termo
. Logo:
Substituindo números (R = 8,314 J/mol·K, Cᵥ = 5/2·R, n = 2000, T₁ = 298 K, Pₑₓₜ = 1,000 atm = 1,013×10⁵ Pa, V₁ = 15,00 L = 0,015 m³):
T₂ ≈ 212,9 K
Passo 4
Agora V₂ via
:
Passo 5
O trabalho:
Passo 6
Variação de entropia usando
Numericamente:
ln(T₂/T₁)=ln(212,9/298)≈–0,336
ln(V₂/V₁)=ln(34,94/0,015)≈7,751
Logo
ΔS ≈ 2000·(5/2·8,314)·(–0,336) + 2000·8,314·7,751
≈ –13 972 + 128 884
≈ 1,15×10^5 J/K
ΔS ≈ 2000·(5/2·8,314)·(–0,336) + 2000·8,314·7,751
≈ –13 972 + 128 884
≈ 1,15×10^5 J/K
Resposta
w ≈ –3,54×10^6 J
ΔS ≈ +1,15×10^5 J/K
ΔS ≈ +1,15×10^5 J/K