No espaço estão distribuídas três esferas condutoras de raios
e 15 cm . Elas se encontram o suficientemente afastadas de tal forma que os campos elétricos gerados por uma de elas não afeta a distribuição de cargas das outras duas. Inicialmente as esferas de raios 3 cm e 15 cm são neutras e a esfera de raio 9 cm possui carga negativa de tal forma que o módulo do campo elétrico perto da sua superfície é
. Em certo instante posterior, elas são unidas por cabos condutores muitos finos de tal forma que acontece uma redistribuição de cargas elétricas.
(a) Encontre os valores das cargas de cada esfera após a redistribuição. R.
;
e
.
(a) Encontre os valores das cargas de cada esfera após a redistribuição. R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de esferas condutoras e como as cargas elétricas se distribuem quando essas esferas são conectadas por fios condutores. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente sobre campos elétricos, potenciais elétricos e distribuição de cargas em condutores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico próximo à superfície de uma esfera carregada e entender como a carga se distribui quando várias esferas estão em equilíbrio elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as esferas que temos:
- Três esferas condutoras com raios de 3 cm, 9 cm e 15 cm.
- Inicialmente, as esferas de 3 cm e 15 cm estão neutras.
- A esfera de 9 cm tem uma carga negativa que gera um campo elétrico de $ E = 6,7 \times 10^{6} , \frac{N}{C} $ próximo à sua superfície.
Nosso objetivo é encontrar as cargas finais de cada esfera após elas serem conectadas por fios, permitindo a redistribuição das cargas.
Passo 3
Primeiramente, vamos calcular a carga inicial na esfera de 9 cm usando a relação entre o campo elétrico e a carga de uma esfera. A fórmula do campo elétrico $ E $ na superfície de uma esfera é:
Onde:
- $ E $ é o campo elétrico.
- $ Q $ é a carga na esfera.
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , \frac{C^2}{N \cdot m^2} $).
- $ r $ é o raio da esfera.
Rearranjando para encontrar $ Q $:
Substituindo os valores:
Calculando isso, encontramos a carga inicial da esfera de 9 cm.
Passo 4
Agora, quando conectamos as três esferas com fios condutores, elas vão compartilhar a carga até que todas tenham o mesmo potencial elétrico. O potencial $ V $ de uma esfera é dado por:
Onde $ R $ é o raio da esfera. Como todas as esferas terão o mesmo $ V $ após a conexão, podemos escrever:
Aqui, $ Q_1 $, $ Q_2 $ e $ Q_3 $ são as cargas nas esferas de 3 cm, 9 cm e 15 cm, respectivamente, e $ R_1 $, $ R_2 $, $ R_3 $ são seus respectivos raios.
Passo 5
Além disso, a carga total do sistema deve ser conservada. Inicialmente, apenas a esfera de 9 cm tinha carga $ Q $. Depois da redistribuição:
Combinando essa equação com a relação dos potenciais iguais, podemos resolver para $ Q_1 $, $ Q_2 $ e $ Q_3 $.
Passo 6
Resolvendo essas equações, encontramos:
Resposta
Após a redistribuição das cargas, as esferas possuem as seguintes cargas:
- Esfera de 3 cm: $ q_{3} = -0,671 , \mu C $
- Esfera de 9 cm: $ q_{9} = -2,01 , \mu C $
- Esfera de 15 cm: $ q_{15} = -3,35 , \mu C $