Calcule:
O trabalho realizado pelo campo de força F(x, y)=(e^x-y^3, cos y+x^3) numa partícula que percorre uma vez o círculo x^2+y^2=1 no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força F(x, y) = (e^x - y^3, cos y + x^3) ao percorrer uma vez o círculo x^2 + y^2 = 1 no sentido horário. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é calculado através de uma integral de linha. A fórmula para o trabalho W é:
W = ointC F cdot dr
Aqui, C é a curva percorrida, que no nosso caso é o círculo x^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos parametrize a curva C. Como C é um círculo de raio 1, podemos usar coordenadas polares. A parametrização fica:
x = cos t y = sin t
Onde t varia de 0 a 2pi para uma volta completa. Mas atenção: o enunciado pede o sentido horário. Geralmente, parametrizamos no sentido anti-horário, então para inverter o sentido, podemos usar t de 0 a -2pi.

Passo 4

Agora, vamos expressar dr em termos de t. Derivando x e y em relação a t:
dxdt = -sin t dydt = cos t
Portanto,
dr = ( dxdt, dydt ) dt = ( -sin t, cos t ) dt

Passo 5

Substituindo a parametrização na expressão do campo de força F:
F(x, y) = (e^cos t - (sin t)^3, cos (sin t) + (cos t)^3)

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (e^cos t - sin^3 t)(-sin t) + (cos (sin t) + cos^3 t)(cos t)
Simplificando:
= -sin t cdot e^cos t + sin^4 t + cos t cdot cos (sin t) + cos^4 t

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão de t = 0 a t = -2pi:
W = integral0^-2pi ( -sin t cdot e^cos t + sin^4 t + cos t cdot cos (sin t) + cos^4 t ) dt

Passo 8

Notamos que algumas partes dessa integral podem ser complicadas para calcular diretamente. Então, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial U tal que F = nabla U. Se o campo for conservativo, o trabalho ao percorrer uma curva fechada será zero.
Para verificar isso, calculamos a condição de conservatividade:
partial Fxpartial y = partialpartial y (e^x - y^3) = -3y^2 partial Fypartial x = partialpartial x (cos y + x^3) = 3x^2
Para o campo ser conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais:
-3y^2 = 3x^2 implies x^2 = -y^2
Isso só é possível se x = y = 0, o que não é o caso geral. Portanto, o campo F não é conservativo.

Passo 9

Como o campo não é conservativo, precisamos calcular a integral diretamente ou usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C:
W = ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) dA
Já calculamos as derivadas parciais:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 10

Usando a parametrização polar, onde x = rcos theta e y = rsin theta, e x^2 + y^2 = r^2, a integral dupla fica:
W = integral duplaD 3r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 11

Calculando a integral interna em r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então,
W = 3 integral0^2pi 14 , dtheta = 34 cdot 2pi = 3pi2

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao percorrer o círculo x^2 + y^2 = 1 no sentido horário é 3pi2.

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