Calcule:
O trabalho realizado pelo campo de força
numa partícula que percorre uma vez o círculo
no sentido horário.
O trabalho realizado pelo campo de força
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao percorrer uma vez o círculo
no sentido horário. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é calculado através de uma integral de linha. A fórmula para o trabalho
é:
Aqui,
é a curva percorrida, que no nosso caso é o círculo
.
Passo 3
Para calcular essa integral, podemos parametrize a curva
. Como
é um círculo de raio 1, podemos usar coordenadas polares. A parametrização fica:
Onde
varia de
a
para uma volta completa. Mas atenção: o enunciado pede o sentido horário. Geralmente, parametrizamos no sentido anti-horário, então para inverter o sentido, podemos usar
de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Substituindo a parametrização na expressão do campo de força
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 8
Notamos que algumas partes dessa integral podem ser complicadas para calcular diretamente. Então, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Se o campo for conservativo, o trabalho ao percorrer uma curva fechada será zero.
Para verificar isso, calculamos a condição de conservatividade:
Para o campo ser conservativo, essas duas derivadas devem ser iguais:
Isso só é possível se
, o que não é o caso geral. Portanto, o campo
não é conservativo.
Passo 9
Como o campo não é conservativo, precisamos calcular a integral diretamente ou usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Já calculamos as derivadas parciais:
Passo 10
Usando a parametrização polar, onde
e
, e
, a integral dupla fica:
Passo 11
Calculando a integral interna em
:
Então,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao percorrer o círculo
no sentido horário é
.