Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva obtida como interseção da esfera
com o cilindro
, onde
. A curva é percorrida no sentido anti-horário quando vista do plano-xy.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
onde
e
é a curva fechada dada pela interseção da esfera
com o cilindro
restrita a
e percorrida no sentido anti-horário visto de cima.
Para resolver, vamos parametrizar de forma a aproveitar que a projeção no plano
é o círculo
Para resolver, vamos parametrizar
Passo 2
Usamos o parâmetro
para a projeção no plano
. Definimos
Como
está sobre a esfera,
onde tomamos o ramo positivo de
para garantir
.
Passo 3
Escrevemos o vetor posição e sua derivada:
com
Passo 4
Avaliamo
:
O produto escalar é
Simplificando cada termo:
Passo 5
O trabalho é
Dividimos em três integrais:
Somando,