Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y, z)=(y^2, z^2, x^2) ao longo da curva obtida como interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o cilindro x^2+y^2=a x, onde z >= 0 e a>0. A curva é percorrida no sentido anti-horário quando vista do plano-xy.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = ointC Fcdot dr
onde F(x,y,z) = (y^2,;z^2,;x^2) e C é a curva fechada dada pela interseção da esfera
x^2+y^2+z^2 = a^2
com o cilindro
x^2+y^2 = a,x,
restrita a z>=0 e percorrida no sentido anti-horário visto de cima.
Para resolver, vamos parametrizar C de forma a aproveitar que a projeção no plano xy é o círculo
(x-tfraca2)^2 + y^2 = l(tfraca2r)^2

Passo 2

Usamos o parâmetro tin[0,2pi] para a projeção no plano xy. Definimos
x(t) = tfraca2(1+cos t), y(t) = tfraca2sin t
Como C está sobre a esfera,
z(t) = raiz,a^2 - x(t)^2 - y(t)^2, = raiz,a^2 - a,x(t), = asin!l(tfract2r),
onde tomamos o ramo positivo de sin(t/2) para garantir z>=0.

Passo 3

Escrevemos o vetor posição e sua derivada:
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r), r'(t) = l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r),
com
x'(t) = -tfraca2sin t, y'(t) = tfraca2cos t, z'(t) = tfraca2cos!l(tfract2r)

Passo 4

Avaliamo Fl(r(t)r):
Fl(r(t)r) = l(y(t)^2,;z(t)^2,;x(t)^2r) = l(tfraca^24sin^2t,;a^2sin^2!tfract2,;a^2cos^4!tfract2r)
O produto escalar é
Fcdot r' = tfraca^24sin^2tl(-tfraca2sin tr) + a^2sin^2!tfract2,tfraca2cos t + a^2cos^4!tfract2,tfraca2cos!tfract2
Simplificando cada termo:
Fcdot r' = -tfraca^38sin^3t + tfraca^32sin^2!tfract2cos t + tfraca^32cos^5!tfract2

Passo 5

O trabalho é
W = integral0^2pi Fcdot r',dt
Dividimos em três integrais:
I1 = -tfraca^38integral0^2pisin^3t,dt = 0,
I2 = tfraca^32integral0^2pisin^2!tfract2,cos t,dt = tfraca^32integral0^2pitfrac1-cos t2cos t,dt = tfraca^34integral0^2pi(cos t - cos^2t),dt = -tfracpi a^34,
I3 = tfraca^32integral0^2picos^5!tfract2,dt = a^3integral0^picos^5u,du = 0
Somando, W = I1 + I2 + I3 = -tfracpi a^34

Resposta

W = -,pi,a^34

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