Considere o campo vetorial de R^3 definido por F(x, y, z)=(x, y, z) e seja R o sólido do espaço limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=c, onde c é uma constante positiva.
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através de R.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y,z) = (x,y,z) em R^3 e o sólido R limitado abaixo pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e acima pelo plano z = c, com c>0. Para calcular o fluxo de F através de partial R, usamos o Teorema da Divergência:
integral duplapartial R Fcdot n,dS = integral triplaR (nabla cdot F),dV

Passo 2

Calculamos a divergência de F. Como F(x,y,z)=(x,y,z), temos
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplapartial R Fcdot n,dS = integral triplaR 3,dV = 3,Vol(R)
Para achar Vol(R), usamos coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com x^2+y^2=r^2. O domínio é
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= raizc, r^2 <= z <= c
Logo,
Vol(R) = integral0^2pi!integral0^raizc!integralr^2^c r,dz,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^raizc(c - r^2),r,dr,dtheta
Fazendo a integral em r:
integral0^raizc(c r - r^3),dr = [c,r^22 - r^44]0^raizc = c^22 - c^24 = c^24
Portanto,
Vol(R) = integral0^2pi c^24,dtheta = 2pi cdot c^24 = pi c^22

Passo 4

Substituindo em integral duplapartial RFcdotn,dS = 3,Vol(R), obtemos
integral duplapartial RFcdotn,dS = 3 cdot pi c^22 = 3pi c^22

Resposta

3pi c^22

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