Considere o campo vetorial de
definido por
e seja
o sólido do espaço limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, onde
é uma constante positiva.
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através de
.
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
em
e o sólido
limitado abaixo pelo paraboloide
e acima pelo plano
, com
. Para calcular o fluxo de
através de
, usamos o Teorema da Divergência:
Passo 2
Calculamos a divergência de
. Como
, temos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Para achar
, usamos coordenadas cilíndricas
com
. O domínio é
Logo,
Fazendo a integral em
:
Portanto,
Passo 4
Substituindo em
, obtemos