Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 1raiz4 n^3-5 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 1raiz4,n^3-5,n
usando o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e, em particular, comparação com uma p-série.

Passo 2

Para grandes valores de n, o termo geral
1raiz4,n^3-5,n
comporta-se como
1raiz4,n^3 =12,n^3/2
Isso sugere comparar com a série
sum 12,n^3/2, que é uma p-série com p=tfrac32>1 e, portanto, convergente.

Passo 3

Definimos
an = 1raiz4,n^3-5,n, bn = 12,n^3/2
Já sabemos que sum bn converge porque é p-série com p=tfrac32>1.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Comparação no Limite, calculando
L = limntoinftyanbn =limntoinfty 1raiz4,n^3-5,n 12,n^3/2 =limntoinfty 2,n^3/2raiz4,n^3-5,n =limntoinfty 2,n^3/22,n^3/2raiz1-tfrac54n^2 =11=1
Como 0< L <infty e sum bn converge, segue que sum an também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 1raiz4,n^3-5,n
converge, por comparação no limite com a p-série de expoente tfrac32.

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