Considere o campo vetorial de R^3 definido por F(x, y, z)=(x, y, z) e seja R o sólido do espaço limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=c, onde c é uma constante positiva.
Calcule o valor de c sabendo que
integral duplaSlang<=F, nrang<= d S+integral duplaPlang<=F, nrang<= d S=2 pi
onde S é a superfície de R, P é a superfície parabólica z=x^2+y^2, 0 <= z <= c, e n é o campo normal unitário apontando para fora de R.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial vec F(x,y,z)=(x,y,z) em R^3 e o sólido R limitado por
z = x^2 + y^2 (paraboloide)
e
z = c (plano superior),
com c>0. Precisamos achar c tal que o fluxo de vec F saindo de R através da tampa S (o disco em z=c) mais o fluxo através da parede parabólica P seja 2pi:
integral duplaSlang<=vec F, vec nrang<=,dS ;+; integral duplaPlang<=vec F, vec nrang<=,dS ;=;2pi

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplapartial Rlang<=vec F,vec nrang<=,dS ;=;integral triplaRdiv,vec F;dV
Aqui partial R=Scup P. Calculamos
div,vec F =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3
Logo o fluxo total é
integral duplaSlang<=vec F,vec nrang<=,dS + integral duplaPlang<=vec F,vec nrang<=,dS = integral triplaR3,dV =3,Vol(R)

Passo 3

Calculamos o volume de R em coordenadas cilíndricas (r,theta,z):
rin[0,raizc],thetain[0,2pi], zin[r^2,c]
Temos
Vol(R) =integral0^2pi!integral0^raiz c!integralr^2^cr,dz,dr,dtheta =2piintegral0^raiz crl(c-r^2r),dr
Fazendo a integral em r:
integral0^raiz cr(c-r^2),dr =[c,r^22-r^44]0^raiz c =c^22-c^24 =c^24
Então
Vol(R) =2picdotc^24 =pi,c^22

Passo 4

O fluxo total é 3,Vol(R)=3l(pi c^2/2r). Pelo enunciado esse valor vale 2pi, logo
3;pi,c^22=2pi Longrightarrow 3c^22=2 Longrightarrow c^2=43 Longrightarrow c=2raiz3(c>0)

Resposta

c=2raiz3

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