Considere o campo vetorial de
definido por
e seja
o sólido do espaço limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, onde
é uma constante positiva.
Calcule o valor de
sabendo que
onde S é a superfície de
é a superfície parabólica
, e
é o campo normal unitário apontando para fora de
.
Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
em
e o sólido
limitado por
e
com
. Precisamos achar
tal que o fluxo de
saindo de
através da tampa
(o disco em
) mais o fluxo através da parede parabólica
seja
:
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
Aqui
. Calculamos
Logo o fluxo total é
Passo 3
Calculamos o volume de
em coordenadas cilíndricas
:
Temos
Fazendo a integral em
:
Então
Passo 4
O fluxo total é
. Pelo enunciado esse valor vale
, logo