Calcule o trabalho realizado pelo campo quando um objeto é movido ao longo da circunferência orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando um objeto se move ao longo da circunferência no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que envolve calcular uma integral onde o caminho de integração é uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência dada. A equação [(x-4)^2 + y^2 = 1) representa um círculo com centro em e raio 1 no plano xy. Podemos parametrizar essa circunferência usando a seguinte fórmula:
onde a para completar uma volta completa no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas parametrizações na função do campo F :
F(x(t), y(t), z(t)) = z(t)x(t) i + j + ln(x(t)) k
Como z(t) = 0 , a componente z(t)x(t) desaparece:
F(t) = 0 cdot i + j + ln(4 + cos(t)) k = j + ln(4 + cos(t)) k
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular dr , que é a derivada do vetor posição em relação a t :
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = (4 + cos(t)) i + sin(t) j + 0 k
Derivando em relação a t :
drdt = -sin(t) i + cos(t) j + 0 k
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F(t) cdot drdt :