Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y, z)=zx i+j+ln x k quando um objeto é movido ao longo da circunferência (x-4)^2+y^2=1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial F(x, y, z) = zx i + j + ln(x) k quando um objeto se move ao longo da circunferência (x-4)^2 + y^2 = 1 no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que envolve calcular uma integral onde o caminho de integração é uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência dada. A equação [(x-4)^2 + y^2 = 1) representa um círculo com centro em e raio 1 no plano xy. Podemos parametrizar essa circunferência usando a seguinte fórmula:
onde a para completar uma volta completa no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas parametrizações na função do campo F :
F(x(t), y(t), z(t)) = z(t)x(t) i + j + ln(x(t)) k
Como z(t) = 0 , a componente z(t)x(t) desaparece:
F(t) = 0 cdot i + j + ln(4 + cos(t)) k = j + ln(4 + cos(t)) k

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular dr , que é a derivada do vetor posição em relação a t :
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = (4 + cos(t)) i + sin(t) j + 0 k
Derivando em relação a t :
drdt = -sin(t) i + cos(t) j + 0 k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(t) cdot drdt :
F(t) cdot drdt = (0) cdot (-sin(t)) + (1) cdot cos(t) + ln(4 + cos(t)) cdot 0 = cos(t)

Passo 6

Finalmente, o trabalho realizado é a integral dessa expressão de t = 0 a t = 2pi :
W = integral0^2pi cos(t) , dt
Calculando a integral:
W = [ sin(t) ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é igual a 0.

Exercícios relacionados