Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
,
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem a integral
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
. O Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
. Para isso, precisamos identificar as funções
e
da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
. O Teorema de Green diz que:
onde
é a região dentro do triângulo
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para facilitar, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Os limites serão:
-
vai de 0 a 1 - Para cada
, vai de 0 até (já que a linha que forma o triângulo é )
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Agora substituímos na integral externa:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Calculando:
Passo 7
Simplificando os termos constantes:
Portanto, a expressão fica:
Resposta
O valor da integral de linha é
.