Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
ointC e^2 x+y d x+e^-y d y, C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem a integral ointC e^2x+y , dx + e^-y , dy, onde C é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). O Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C. Para isso, precisamos identificar as funções P(x,y) e Q(x,y) da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P(x,y) = e^2x+y e Q(x,y) = e^-y. O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
onde D é a região dentro do triângulo C. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x e^-y = 0
partial Ppartial y = partialpartial y e^2x+y = e^2x+y
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD (0 - e^2x+y) , dA = -integral duplaD e^2x+y , dA

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Para facilitar, vamos integrar primeiro em y e depois em x. Os limites serão:
  • x vai de 0 a 1
  • Para cada x, y vai de 0 até x (já que a linha que forma o triângulo é y = x)
Então, a integral dupla fica:
-integral0^1 integral0^x e^2x+y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em y:
integral0^x e^2x+y , dy = e^2x integral0^x e^y , dy = e^2x [e^y]0^x = e^2x (e^x - 1)
Agora substituímos na integral externa:
-integral0^1 e^2x (e^x - 1) , dx = -integral0^1 (e^3x - e^2x) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
-[ e^3x3 - e^2x2 ]0^1 = -( ( e^33 - e^22 ) - ( 13 - 12 ) )
Calculando:
= -( e^33 - e^22 - 13 + 12 )
= -( e^33 - e^22 - 13 + 12 )

Passo 7

Simplificando os termos constantes:
12 - 13 = 36 - 26 = 16
Portanto, a expressão fica:
-( e^33 - e^22 + 16 ) = -e^33 + e^22 - 16

Resposta

O valor da integral de linha é -dfrace^33 + dfrace^22 - dfrac16.

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