Seja f(x, y, z)=x y sin y z e F o campo gradiente de f. Calcule integralC F d R onde C é um caminho que liga (0,0,0) a (1,1, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F , que é o gradiente da função f(x, y, z) = x y sin(y z) , ao longo de um caminho C que vai de (0, 0, 0) até (1, 1, pi). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo gradiente F da função f(x, y, z) . O campo gradiente é dado pelas derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada componente:
partial fpartial x = y sin(y z)
partial fpartial y = x sin(y z) + x y z cos(y z)
partial fpartial z = x y^2 cos(y z)
Então, o campo gradiente fica:
F = ( y sin(y z), x sin(y z) + x y z cos(y z), x y^2 cos(y z) )

Passo 3

Agora, por que o campo gradiente nos ajuda a calcular a integral de linha de forma mais fácil? Porque campos gradiente são campos conservativos. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função nos pontos finais, não do caminho escolhido. A fórmula para isso é:
integralC F cdot dR = f(ponto final) - f(ponto inicial)
Então, em vez de calcular a integral complicada ao longo do caminho C , basta calcular a diferença dos valores de f nos pontos finais.

Passo 4

Vamos calcular f nos dois pontos:
  1. Ponto inicial (0, 0, 0):
f(0, 0, 0) = 0 times 0 times sin(0 times 0) = 0
  1. Ponto final (1, 1, pi):
f(1, 1, pi) = 1 times 1 times sin(1 times pi) = sin(pi) = 0

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula dos campos conservativos:
integralC F cdot dR = f(1, 1, pi) - f(0, 0, 0) = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral integralC F cdot dR é igual a 0.

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