Seja
e
o campo gradiente de
. Calcule
onde
é um caminho que liga
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
, que é o gradiente da função
, ao longo de um caminho
que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo gradiente
da função
. O campo gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
Vamos calcular cada componente:
Então, o campo gradiente fica:
Passo 3
Agora, por que o campo gradiente nos ajuda a calcular a integral de linha de forma mais fácil? Porque campos gradiente são campos conservativos. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função nos pontos finais, não do caminho escolhido. A fórmula para isso é:
Então, em vez de calcular a integral complicada ao longo do caminho
, basta calcular a diferença dos valores de
nos pontos finais.
Passo 4
Vamos calcular
nos dois pontos:
- Ponto inicial
:
- Ponto final
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula dos campos conservativos:
Resposta
A integral
é igual a 0.