Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y, z)=(sin x, z cos y, sin y) quando um objeto é movido ao longo da elipse 4 x^2+9 y^2=36 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O exercício pede o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x,y,z)=(sin x, z cos y, sin y) ao longo da elipse 4x²+9y²=36 no plano z=0, orientada anti-horário. O conteúdo aqui é integral de linha e campos conservativos; vamos ver se podemos usar o Teorema Fundamental.

Passo 2

Vamos verificar se F é conservativo calculando o rotacional ∇×F. Calculamos o rotacional de F:
∇×F= ∂∂y(sin y)−∂∂z(z cos y) ∂∂z(sin x)−∂∂x(sin y) ∂∂x(z cos y)−∂∂y(sin x) =cos y−cos y0−00−0=000
Como ∇×F=0 em todo o domínio, F é conservativo.

Passo 3

Agora, achamos o potencial φ tal que ∇φ=F. Integramos componente a componente:
  1. φx=sin x φ=−cos x+g(y,z).
  2. φy=∂y g(y,z)=z cos y implica g(y,z)=z sin y+h(z).
  3. φz=∂z[h(z)]+sin y=sin y força h'(z)=0.
    Logo φ(x,y,z)=−cos x+z sin y (até constante).

Passo 4

Em campos conservativos vale o Teorema Fundamental de Cálculo para curvas fechadas: o trabalho é φ(final)−φ(inicial). Como a elipse é fechada, voltamos ao mesmo ponto e φ não muda. Logo o trabalho é zero.

Resposta

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