Calcule o trabalho realizado pelo campo
quando um objeto é movido ao longo da elipse
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O exercício pede o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x,y,z)=(sin x, z cos y, sin y) ao longo da elipse 4x²+9y²=36 no plano z=0, orientada anti-horário. O conteúdo aqui é integral de linha e campos conservativos; vamos ver se podemos usar o Teorema Fundamental.
Passo 2
Vamos verificar se F é conservativo calculando o rotacional ∇×F. Calculamos o rotacional de F:
Como ∇×F=0 em todo o domínio, F é conservativo.
Passo 3
Agora, achamos o potencial φ tal que ∇φ=F. Integramos componente a componente:
-
dáφx=sin x .φ=−cos x+g(y,z) -
implicaφy=∂y g(y,z)=z cos y .g(y,z)=z sin y+h(z) -
forçaφz=∂z[h(z)]+sin y=sin y .h'(z)=0
Logo (até constante).φ(x,y,z)=−cos x+z sin y
Passo 4
Em campos conservativos vale o Teorema Fundamental de Cálculo para curvas fechadas: o trabalho é φ(final)−φ(inicial). Como a elipse é fechada, voltamos ao mesmo ponto e φ não muda. Logo o trabalho é zero.
Resposta
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