Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y z^2+e^x y) i+(x^2 z^2+e^x+z cos y) j+(2 x^2 y z+sen y) k na partícula que vai do ponto (1,0,2) ao ponto (0, pi / 2,1).

Passo 1

Então, o exercício pede pra calcular o trabalho do campo vetorial F(x,y,z) = (2xyz^2 + e^x y),i + (x^2z^2 + e^x + zcos y),j + (2x^2yz + sin y),k ao longo da trajetória que vai de (1,0,2) até (0,pi/2,1). O conteúdo aqui é campo conservativo e função potencial, e pra resolver vamos precisar usar derivadas parciais, checar se o campo é conservativo e depois achar a função potencial.

Passo 2

Pra ver se F é conservativo, igualamos derivadas parciais. Chamando as componentes de P, Q e R, temos: calculemos
partial P/partial y = 2xz^2 + e^x e partial Q/partial x = 2xz^2 + e^x;
partial P/partial z = 4xyz e partial R/partial x = 4xyz;
partial Q/partial z = 2x^2z + cos y e partial R/partial y = 2x^2z + cos y.
Como todas coincidem, confirmamos que F é conservativo.

Passo 3

Sendo conservativo, existe função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi = F. Começo integrando P = 2xyz^2 + e^x y em x:
phi(x,y,z) = integral (2xyz^2 + e^x y),dx = x^2yz^2 + ye^x + h(y,z)

Passo 4

Agora uso partialphi/partial y = Q pra achar h(y,z). Do que já temos,
partialphipartial y = x^2z^2 + e^x + partial hpartial y,
deve ser igual a Q = x^2z^2 + e^x + zcos y. Logo partial h/partial y = zcos y, e integrando em y vem h(y,z) = zsin y + k(z). Por fim, checando partialphi/partial z = R k'(z)=0, então
phi(x,y,z) = x^2yz^2 + ye^x + zsin y

Passo 5

Pra fechar, aplico o teorema fundamental dos gradientes: o trabalho vale
phil(0,tfracpi2,1r) - phi(1,0,2)
Calculando:
phi(0,tfracpi2,1) = 0 + tfracpi2e^0 + 1cdot1 = tfracpi2 + 1 e phi(1,0,2)=0. Então o trabalho é tfracpi2 + 1.

Resposta

1 + tfracpi2

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