Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
na partícula que vai do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Então, o exercício pede pra calcular o trabalho do campo vetorial
ao longo da trajetória que vai de
até
. O conteúdo aqui é campo conservativo e função potencial, e pra resolver vamos precisar usar derivadas parciais, checar se o campo é conservativo e depois achar a função potencial.
Passo 2
Pra ver se
é conservativo, igualamos derivadas parciais. Chamando as componentes de
,
e
, temos: calculemos
e
;
e
;
e
.
Como todas coincidem, confirmamos que é conservativo.
Como todas coincidem, confirmamos que
Passo 3
Sendo conservativo, existe função potencial
tal que
. Começo integrando
em
:
Passo 4
Agora uso
pra achar
. Do que já temos,
deve ser igual a
. Logo
, e integrando em
vem
. Por fim, checando
dá
, então
Passo 5
Pra fechar, aplico o teorema fundamental dos gradientes: o trabalho vale
Calculando:
e
. Então o trabalho é
.