Calcule o trabalho realizado no deslocamento de uma carga de 4 C de B(1,0,0) até A(0,2,0) pelo caminho y=2-2 x, z=0 no campo \mathbf{E}= (a) 5 \mathrm{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (b) 5 x \mathrm{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m}; (c) 5 x \mathrm{a}_{x}+5 y \mathrm{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
Resp. 20 \mathrm{~J} ; 10 \mathrm{~J} ;-30 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado ao deslocar uma carga q=4\\ \mathrm{C} de B(1,0,0) até A(0,2,0) seguindo a curva y=2-2x,\\ z=0, em diferentes campos \mathbf{E}. O conteúdo é trabalho de linha de uma força eletrostática \mathbf{F}=q\mathbf{E}. Vamos usar a definição
W_{\text{campo}}=\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
e lembrar que o trabalho fornecido por um agente externo é
W_{\text{ext}}=-\,W_{\text{campo}}.

Passo 2

Parametrizamos o caminho de B a A por
\mathbf{r}(t)=(1-t)\,\mathbf{a}_x+2t\,\mathbf{a}_y,\quad t\in[0,1],
pois em t=0 temos B(1,0,0) e em t=1 A(0,2,0). Então
\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =(-\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Em geral
W_{\text{campo}} =q\int_{0}^{1}\mathbf{E}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t
e o trabalho externo será
W_{\text{ext}}=-\,W_{\text{campo}}.

Passo 4

Para \mathbf{E}=5\,\mathbf{a}_x temos
\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =5\,\mathbf{a}_x\cdot(-\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y)\,\mathrm{d}t =-5\,\mathrm{d}t.
Logo
W_{\text{campo}} =4\int_{0}^{1}(-5)\,\mathrm{d}t =-20\\ \mathrm{J},
e
W_{\text{ext}}=20\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para \mathbf{E}=5x\,\mathbf{a}_x usamos x=1-t, então
\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =5(1-t)\,\mathbf{a}_x\cdot(-\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y)\,\mathrm{d}t =-5(1-t)\,\mathrm{d}t.
Isso dá
W_{\text{campo}} =4\int_{0}^{1}-5(1-t)\,\mathrm{d}t =-\frac{5\cdot4}{2} =-10\\ \mathrm{J},
e
W_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para \mathbf{E}=5x\,\mathbf{a}_x+5y\,\mathbf{a}_y lembramos que y=2t. Então
\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\bigl[5(1-t)\mathbf{a}_x+5(2t)\mathbf{a}_y\bigr]\cdot(-\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y)\,\mathrm{d}t =\bigl[-5(1-t)+10\cdot2t\bigr]\mathrm{d}t =(-5+25t)\,\mathrm{d}t.
Calculando
W_{\text{campo}} =4\int_{0}^{1}(-5+25t)\,\mathrm{d}t =4\bigl[-5t+\tfrac{25}{2}t^2\bigr]_{0}^{1} =30\\ \mathrm{J},
e
W_{\text{ext}}=-30\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) 20\\ \mathrm{J}
(b) 10\\ \mathrm{J}
(c) -30\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados