A equação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio pode ser resolvida através do método de separação de variáveis. Mostre como você pode fazer isso e diga quais são os valores possíveis para os números quânticos n, l e m que aparecem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo estacionária para o átomo de hidrogênio usando separação de variáveis em coordenadas esféricas. Vamos precisar da forma da equação
com
, onde
é a massa reduzida. A ideia é escrever
e separar as dependências radiais e angulares.
Passo 2
Em coordenadas esféricas o Laplaciano vale
Substituindo
e dividindo ambos os lados por
obtemos
onde
é o operador momento angular ao quadrado. Reagrupando, surge uma parte que depende só de
e outra só de
, igualando cada parte a uma constante de separação
.
Passo 3
A parte angular satisfaz
As soluções são as harmônicas esféricas
. Dessas equações autovalor temos
; e
Passo 4
A parte radial fica
Impondo que
seja regular em
e caia exponencialmente em
, obtém‐se soluções polinomiais que só existem se
com
, onde
é o número quântico radial. Define‐se então o número quântico principal
e ele determina níveis de energia quantizados.
Resposta
Os números quânticos assumem os valores