A equação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio pode ser resolvida através do método de separação de variáveis. Mostre como você pode fazer isso e diga quais são os valores possíveis para os números quânticos n, l e m que aparecem.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo estacionária para o átomo de hidrogênio usando separação de variáveis em coordenadas esféricas. Vamos precisar da forma da equação
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\Psi(r,\theta,\varphi)+V(r)\Psi(r,\theta,\varphi)=E\,\Psi(r,\theta,\varphi)
com V(r)=-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}, onde \mu é a massa reduzida. A ideia é escrever \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)\,Y(\theta,\varphi) e separar as dependências radiais e angulares.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o Laplaciano vale
\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial}{\partial r}\Bigr) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\,.
Substituindo \Psi=R(r)\,Y(\theta,\varphi) e dividindo ambos os lados por R\,Y obtemos
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\Bigl[\frac{1}{R\,r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr) +\frac{1}{r^2\,Y}\hat L^2Y\Bigr] +V(r)=E
onde \hat L^2 é o operador momento angular ao quadrado. Reagrupando, surge uma parte que depende só de r e outra só de (\theta,\varphi), igualando cada parte a uma constante de separação \hbar^2l(l+1).

Passo 3

A parte angular satisfaz
\hat L^2\,Y(\theta,\varphi)=\hbar^2\,l(l+1)\,Y(\theta,\varphi)\,,\qquad \hat L_z\,Y(\theta,\varphi)=\hbar\,m\,Y(\theta,\varphi)\,.
As soluções são as harmônicas esféricas Y_l^m(\theta,\varphi). Dessas equações autovalor temos
\;l=0,1,2,\dots; e \;m=-l,-l+1,\dots,+l\,.

Passo 4

A parte radial fica
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr) +\frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2\mu\,r^2}R(r)-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}R(r)=E\,R(r).
Impondo que R(r) seja regular em r=0 e caia exponencialmente em r\to\infty, obtém‐se soluções polinomiais que só existem se
E_n=-\frac{\mu\,e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2}
com n=n_r+l+1, onde n_r=0,1,2,\dots é o número quântico radial. Define‐se então o número quântico principal
\;n=1,2,\dots\; e ele determina níveis de energia quantizados.

Resposta

Os números quânticos assumem os valores
n=1,2,3,\dots, \quad l=0,1,\dots,n-1, \quad m=-l,-l+1,\dots,+l.

Exercícios relacionados