Calcule o trabalho realizado pela força F ao longo da curva C.
F=-x i-y j e C é o semi-círculo superior de (1,0) a (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho da força vec F = -x,vec i - y,vec j ao longo do semicírculo superior C de (1,0) a (-1,0). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial (trabalho de força) e vamos usar a ideia de campo conservativo e potencial para simplificar.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, checamos se as derivadas cruzadas coincidem: partial(-x)/partial y = 0 e partial(-y)/partial x = 0. Como são iguais, existe potencial phi(x,y) tal que nablaphi = vec F. Integramos partialphi/partial x = -x em relação a x e depois ajustamos em y:
Calculando o potencial, temos
phi(x,y) = -integral x,dx - integral y,dy = -x^22 - y^22 + C

Passo 3

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, o trabalho é W = phi(Pf) - phi(Pi), onde Pi=(1,0) e Pf=(-1,0). Calculamos:
phi(1,0) = -tfrac1^22 - 0 = -tfrac12,
phi(-1,0) = -tfrac(-1)^22 - 0 = -tfrac12
Logo
$$
W = \phi(-1,0) - \phi(1,0) = -\tfrac12 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = 0.$$

Resposta

0

Exercícios relacionados