1. Dada f(x, y, z)=2 x^2-x y-5 y^2-2 y z+z^2+2 z ache a taxa de variação de f(x, y, z) em (2,-1,3) na direção e sentido do vetor 4 i-4 j+2 k. (Sol. DU f=8 )

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=2x^2 - xy - 5y^2 - 2yz + z^2 + 2z e pede a taxa de variação em (2,-1,3) na direção do vetor v=4i-4j+2k. Esse tipo de problema usa derivada direcional, cuja definição é Du f(p)=nabla f(p)cdot u, onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f. Por definição,
partial fpartial x=4x - y, partial fpartial y=-x -10y -2z, partial fpartial z=-2y +2z +2
Agora avaliamos em (2,-1,3):
nabla f(2,-1,3)=(4cdot2 -(-1),;-2 -10(-1)-2cdot3,;-2(-1)+2cdot3+2)=(9,2,10)
Em seguida obtemos o vetor unitário u=v|v|. Primeiro o módulo de v:
|v|=raiz4^2+(-4)^2+2^2=6,
de modo que
nu=l(tfrac46,-tfrac46,tfrac26r)=l(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r)
Por fim calculamos a derivada direcional como o produto escalar:
$$
D_u f(2,-1,3)=\nabla f(2,-1,3)\cdot u=9\cdot\tfrac{2}{3}+2\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+10\cdot\tfrac{1}{3}=8.$$

Resposta

8

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