Guestão 12. Obtenha duas expansões em série de Laurent de
, indicando a região de validade de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para obter duas expansões em série de Laurent de
f(z)=1/(z(1+z²)), indicando para quais valores de |z| cada uma vale. O conteúdo é “série de Laurent” e vamos usar expansões do tipo geométrico para 1/(1+z²).
f(z)=1/(z(1+z²)), indicando para quais valores de |z| cada uma vale. O conteúdo é “série de Laurent” e vamos usar expansões do tipo geométrico para 1/(1+z²).
Passo 2
Para |z|<1, usamos a série geométrica clássica
operação válida porque |z²|<1. Multiplicando por 1/z, obtemos
Portanto, para |z|<1:
Passo 3
Para |z|>1, escrevemos
válido porque |1/z²|<1. Multiplicando por 1/z:
Logo, para |z|>1:
Resposta
Para |z|<1: f(z)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n z{2n-1}=z{-1}-z+z^3-\dots; Para |z|>1: f(z)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n z{-2n-3}=z{-3}-z{-5}+z{-7}-\dots.