Guestão 12. Obtenha duas expansões em série de Laurent de , indicando a região de validade de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para obter duas expansões em série de Laurent de
f(z)=1/(z(1+z²)), indicando para quais valores de |z| cada uma vale. O conteúdo é “série de Laurent” e vamos usar expansões do tipo geométrico para 1/(1+z²).

Passo 2

Para |z|<1, usamos a série geométrica clássica
11+z^2=sumn=0^infty(-1)^n z^2n,
operação válida porque |z²|<1. Multiplicando por 1/z, obtemos
f(z)=1z11+z^2=1zsumn=0^infty(-1)^n z^2n=sumn=0^infty(-1)^n z^2n-1
Portanto, para |z|<1:
f(z)=z^-1-z+z^3-z^5+cdots

Passo 3

Para |z|>1, escrevemos
11+z^2=1z^211+1/z^2=1z^2sumn=0^infty(-1)^n z^-2n=sumn=0^infty(-1)^n z^-2n-2,
válido porque |1/z²|<1. Multiplicando por 1/z:
f(z)=1zsumn=0^infty(-1)^n z^-2n-2=sumn=0^infty(-1)^n z^-2n-3
Logo, para |z|>1:
f(z)=z^-3-z^-5+z^-7-cdots

Resposta

Para |z|<1: f(z)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n z{2n-1}=z{-1}-z+z^3-\dots; Para |z|>1: f(z)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n z{-2n-3}=z{-3}-z{-5}+z{-7}-\dots.

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