O cicloide é a curva (lugar geométrico) do movimento dado por \mathbf{c}(t)=r(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+r(1-\cos t) \mathbf{j}.
(a) Explique o que é o cicloide e como ela é gerada.
(b) Determine os valores máximo e mínimo das normas da velocidade \|\mathbf{v}\| e da aceleração \|\mathbf{a}\| do movimento, considerando r=2.
(c) Faça um desenho detalhado da curva do cicloide.
(d) Calcule o comprimento de arco do cicloide para o intervalo t \in[0,2 \pi].
e pede quatro coisas:
(a) entender o que é a cicloide e como ela surge (conteúdo: curvas paramétricas e movimento de rolamento sem deslize);
(b) calcular os valores máximos e mínimos de \|\mathbf{v}(t)\| e \|\mathbf{a}(t)\| para r=2 (conteúdo: derivadas, norma de vetor, otimização em intervalo);
(c) esboçar a curva (conteúdo: interpretação geométrica do parâmetro);
(d) obter o comprimento de arco entre t=0 e t=2\pi (conteúdo: integral de comprimento de curva).
Passo 2
Para explicar o que é a cicloide, lembramos que ela é o lugar geométrico de um ponto fixo na borda de uma roda de raio r que rola sem deslizar sobre uma linha reta. Conforme a roda avança, cada posição do ponto descreve um arco de altura máxima 2r e forma arcos sucessivos com “cuspides” (pontos de canto) nos instantes em que a roda toca o chão.
(a) A cicloide é o lugar geométrico de um ponto na borda de uma roda de raio r que rola sem deslizar, gerando arcos com cuspides nos toques com a reta.
(b) Para r=2: \min\|\mathbf{v}\|=0,\;\max\|\mathbf{v}\|=4;\quad \min\|\mathbf{a}\|=\max\|\mathbf{a}\|=2.
(c) Esboce de t=0 a 2\pi uma arqueta partindo de (0,0), atingindo (2\pi,4) e retornando a (4\pi,0), com cuspides em (0,0) e (4\pi,0).
(d) L=16.