O cicloide é a curva (lugar geométrico) do movimento dado por \mathbf{c}(t)=r(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+r(1-\cos t) \mathbf{j}.
(a) Explique o que é o cicloide e como ela é gerada.
(b) Determine os valores máximo e mínimo das normas da velocidade \|\mathbf{v}\| e da aceleração \|\mathbf{a}\| do movimento, considerando r=2.
(c) Faça um desenho detalhado da curva do cicloide.
(d) Calcule o comprimento de arco do cicloide para o intervalo t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\mathbf{c}(t)=r\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr)\,\mathbf{i}+r\bigl(1-\cos t\bigr)\,\mathbf{j},
e pede quatro coisas:
(a) entender o que é a cicloide e como ela surge (conteúdo: curvas paramétricas e movimento de rolamento sem deslize);
(b) calcular os valores máximos e mínimos de \|\mathbf{v}(t)\| e \|\mathbf{a}(t)\| para r=2 (conteúdo: derivadas, norma de vetor, otimização em intervalo);
(c) esboçar a curva (conteúdo: interpretação geométrica do parâmetro);
(d) obter o comprimento de arco entre t=0 e t=2\pi (conteúdo: integral de comprimento de curva).

Passo 2

Para explicar o que é a cicloide, lembramos que ela é o lugar geométrico de um ponto fixo na borda de uma roda de raio r que rola sem deslizar sobre uma linha reta. Conforme a roda avança, cada posição do ponto descreve um arco de altura máxima 2r e forma arcos sucessivos com “cuspides” (pontos de canto) nos instantes em que a roda toca o chão.

Passo 3

Primeiro encontramos velocidade e aceleração:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{c}'(t) =r\bigl(1-\cos t\bigr)\,\mathbf{i}+r\sin t\,\mathbf{j},
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =r\sin t\,\mathbf{i}+r\cos t\,\mathbf{j}.
Normas:
\|\mathbf{v}(t)\|^2 =r^2\bigl( (1-\cos t)^2+\sin^2 t \bigr) =2r^2\bigl(1-\cos t\bigr) =4r^2\operatorname{sen}^2\!\tfrac t2,
logo
\|\mathbf{v}(t)\| =2r\bigl|\operatorname{sen}\tfrac t2\bigr|.
Em [0,2\pi], \operatorname{sen}(t/2)\ge0, então
\|\mathbf{v}(t)\|=2r\operatorname{sen}\!\tfrac t2,
que tem mínimo 0 (em t=0,2\pi) e máximo 2r (em t=\pi).
Para a aceleração,
\|\mathbf{a}(t)\| =r\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t} =r,
constante, logo máximo e mínimo iguais a r.
Substituindo r=2:
\min\|\mathbf{v}\|=0,\quad \max\|\mathbf{v}\|=4; \qquad \min\|\mathbf{a}\|=\max\|\mathbf{a}\|=2.

Passo 4

Para desenhar a cicloide de t=0 a 2\pi:
  1. Marque o ponto inicial em \mathbf{c}(0)=(0,0), que é uma cúspide.
  2. Em t=\pi/2, calcule \mathbf{c}\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =\bigl(2(\tfrac\pi2-1),\,2(1-0)\bigr) =(\pi-2,\,2).Marque esse ponto de altitude 2.
  3. Em t=\pi, tem-se o ponto alto \mathbf{c}(\pi)=(2(\pi-0),\,2(1-(-1)))=(2\pi,4).
  4. Para t\in[\pi,2\pi] repita simetricamente até chegar em \mathbf{c}(2\pi)=(4\pi,0).
  5. Una suavemente esses pontos formando um arco que sobe até (2\pi,4) e desce até (4\pi,0), com cuspide nas extremidades.

Passo 5

O comprimento de arco é
L=\int_{0}^{2\pi}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt =\int_{0}^{2\pi}4\operatorname{sen}\!\tfrac t2\,dt.
Fazendo u=\tfrac t2, dt=2\,du, os limites vão de 0 a \pi:
L=4\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} u\cdot2\,du =8\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi} =8\bigl(-(-1)-(-1)\bigr) =16.

Resposta

(a) A cicloide é o lugar geométrico de um ponto na borda de uma roda de raio r que rola sem deslizar, gerando arcos com cuspides nos toques com a reta.
(b) Para r=2:
\min\|\mathbf{v}\|=0,\;\max\|\mathbf{v}\|=4;\quad \min\|\mathbf{a}\|=\max\|\mathbf{a}\|=2.
(c) Esboce de t=0 a 2\pi uma arqueta partindo de (0,0), atingindo (2\pi,4) e retornando a (4\pi,0), com cuspides em (0,0) e (4\pi,0).
(d) L=16.

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