Calcule o trabalho realizado pela força F(x, y)=(3 x-4 y) i+(4 x+2 y) j que move uma particula ao longo da curva C:\left\{\begin{array}{l}x=4 t+1 \\\ y=3 t^{2}\end{array}, 0 \leq t \leq 2\right..

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força \mathbf F(x,y)=(3x-4y)\mathbf i + (4x+2y)\mathbf j ao longo da curva C dada por
x = 4t+1,\quad y = 3t^2,\quad 0 \le t \le 2.
Isso é um caso clássico de integral de linha de um campo vetorial, em que usamos
W = \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{t=0}^{2} \mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot \mathbf r'(t)\,dt.

Passo 2

Definimos a parametrização
\mathbf r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(4t+1,\;3t^2\bigr).
Derivando em relação a t, obtemos
\mathbf r'(t) = \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) = (4,\;6t).

Passo 3

Agora substituímos \mathbf r(t) em cada componente de \mathbf F:
\begin{aligned} 3x-4y &= 3(4t+1) - 4(3t^2) = 12t + 3 - 12t^2,\\\\ 4x+2y &= 4(4t+1) + 2(3t^2) = 16t + 4 + 6t^2 = 6t^2 + 16t + 4. \end{aligned}
Logo
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr) = \bigl(12t + 3 - 12t^2,\;6t^2 + 16t + 4\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot \mathbf r'(t) = (12t + 3 - 12t^2)\,4 \;+\;(6t^2 + 16t + 4)\,(6t).
Fazendo as contas:
(12t + 3 - 12t^2)\,4 = 48t + 12 - 48t^2, \quad (6t^2 + 16t + 4)\,6t = 36t^3 + 96t^2 + 24t,
então
\mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot \mathbf r'(t) = 36t^3 + (96t^2 - 48t^2) + (48t + 24t) + 12 = 36t^3 + 48t^2 + 72t + 12.

Passo 5

Integramos de t=0 até t=2:
W = \int_{0}^{2} \bigl(36t^3 + 48t^2 + 72t + 12\bigr)\,dt = \Bigl[9t^4 + 16t^3 + 36t^2 + 12t\Bigr]_{0}^{2}.
Avaliar em t=2
9\cdot 2^4 + 16\cdot 2^3 + 36\cdot 2^2 + 12\cdot 2 = 9\cdot 16 + 16\cdot 8 + 36\cdot 4 + 24 = 144 + 128 + 144 + 24 = 440.

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo de C é 440.

Exercícios relacionados