\int_{1}^{2}\left[\left(1+t^{2}\right) \mathbf{i}-4 t^{4} \mathbf{j}-\left(t^{2}-1\right) \mathbf{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor
\displaystyle \int_{1}^{2}\bigl[(1+t^{2})\,\mathbf{i}-4t^{4}\,\mathbf{j}-(t^{2}-1)\,\mathbf{k}\bigr]\,dt.
O conteúdo é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente.

Passo 2

Integramos a componente em \mathbf{i}:
\int_{1}^{2}(1+t^{2})\,dt =\left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{2} =\Bigl(2+\frac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(1+\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{10}{3}.

Passo 3

Integramos a componente em \mathbf{j}:
\int_{1}^{2}(-4t^{4})\,dt =-4\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{1}^{2} =-4\Bigl(\frac{32}{5}-\frac{1}{5}\Bigr) =-4\cdot\frac{31}{5} =-\frac{124}{5}.

Passo 4

Integramos a componente em \mathbf{k}:
\int_{1}^{2}-(t^{2}-1)\,dt =-\left[\frac{t^{3}}{3}-t\right]_{1}^{2} =-\Bigl((\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1)\Bigr) =-\bigl(\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}\bigr) =-\frac{4}{3}.

Passo 5

Juntando as três componentes, o resultado da integral vetorial é
\frac{10}{3}\,\mathbf{i} -\frac{124}{5}\,\mathbf{j} -\frac{4}{3}\,\mathbf{k}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}\,\mathbf{i}-\frac{124}{5}\,\mathbf{j}-\frac{4}{3}\,\mathbf{k}

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