Exercício 8.5. Medições da densidade y_{i} de certo material radiativo (fictício) nos instantes de tempo t_{i} resultaram nos pares \left(t_{i}, y_{i}\right)_{i=1}^{6}:(10,72),(20,60), (30,57),(50,40),(70,31) e (100,24). Use escala monolog e o MMQ para encontrar o ajuste y=a e^{-b t}, obtendo a taxa de decaimento b. (Resposta: \left.a^{*}=78.8, b^{*}=0.012\right)

Passo 1

O enunciado fornece os pares \bigl(t_i,y_i\bigr) para i=1,\dots,6 e pede o ajuste do modelo
y = a\,e^{-b\,t}
usando escala monolog (isto é, lin-ea-ri-za-ção pelo logaritmo) e o método dos mínimos quadrados (MMQ). Vamos então transformar a equação em uma reta e aplicar a fórmula do MMQ para coeficiente angular e linear.

Passo 2

Definimos
z_i = \ln y_i,
de modo que o modelo fica
z_i = \ln a - b\,t_i.
Chamando A = \ln a e B = -b, obtemos um ajuste linear
z_i = A + B\,t_i.
Pelo MMQ, os coeficientes A e B são dados por
B = \frac{n\sum t_i z_i - \sum t_i \sum z_i}{\,n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2\,}, \quad A = \frac{\sum z_i - B\sum t_i}{n},
com n=6.

Passo 3

Primeiro computamos os somatórios:
\sum t_i = 10+20+30+50+70+100 = 280, \quad \sum t_i^2 = 10^2+20^2+30^2+50^2+70^2+100^2 = 18800.
Em seguida, calculamos
z_i = \ln y_i \approx (4.277,\;4.094,\;4.043,\;3.689,\;3.434,\;3.178),
logo
\sum z_i \approx 22.715, \quad \sum t_i z_i \approx 988.573.

Passo 4

Substituindo esses valores nas fórmulas:
B = \frac{6\cdot 988.573 \;-\; 280\cdot 22.715} {6\cdot 18800 \;-\; 280^2} \approx -0.01246,
A = \frac{22.715 \;-\; (-0.01246)\cdot 280}{6} \approx 4.3674.

Passo 5

Voltando às variáveis originais, temos
a = e^A \approx e^{4.3674} \approx 78.8, \quad b = -B \approx 0.01246 \approx 0.012.

Resposta

a^{*} = 78.8,\quad b^{*} = 0.012

Exercícios relacionados