Exercício 9.26. Encontre os pontos e valores extremos de

f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sob os vínculos
z^{2}-x^{2}-y^{2}=0 \quad \text { e } \quad z-1-y-x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sob os vínculos
g(x,y,z)=z^{2}-x^{2}-y^{2}=0, \quad h(x,y,z)=z-1-y-x=0.
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange com dois vínculos. Vamos precisar escrever as equações de estação
\nabla f=\lambda\,\nabla g+\mu\,\nabla h
juntamente com g=0 e h=0.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\nabla f=(2x,2y,2z),\quad \nabla g=(-2x,-2y,2z),\quad \nabla h=(-1,-1,1).
O sistema de Lagrange é
2x = \lambda(-2x)+\mu(-1), \quad 2y = \lambda(-2y)+\mu(-1), \quad 2z = \lambda(2z)+\mu(1),
com
z^{2}-x^{2}-y^{2}=0, \quad z-1-y-x=0.

Passo 3

Reescrevendo cada equação:
2x+2\lambda x=-\mu,\quad 2y+2\lambda y=-\mu,\quad 2z-2\lambda z=\mu.
Isto dá
2x(1+\lambda)=-\mu,\quad 2y(1+\lambda)=-\mu,\quad 2z(1-\lambda)=\mu.
Existem duas possibilidades: 1+\lambda\neq0 ou 1+\lambda=0. Verificamos que 1+\lambda=0 implica x=y=0 e z=0, mas isso viola z-1-x-y=0. Logo só há 1+\lambda\neq0.

Passo 4

Se 1+\lambda\neq0, das duas primeiras equações vem x=y. Chamando esse valor de x, temos \mu=-2x(1+\lambda) e também \mu=2z(1-\lambda), logo
-2x(1+\lambda)=2z(1-\lambda).
Dos vínculos substituímos z^{2}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}, isto é z=\pm\sqrt{2}\,x, e z=1+2x.
— Caso z=+\sqrt{2}\,x:
\sqrt{2}\,x=1+2x \\ \Rightarrow\\ x=-\frac{\sqrt{2}+2}{2},\quad y=x,\quad z=-\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
— Caso z=-\sqrt{2}\,x:
-\sqrt{2}\,x=1+2x \\ \Rightarrow\\ x=\frac{\sqrt{2}-2}{2},\quad y=x,\quad z=\sqrt{2}-1.

Passo 5

Calculamos f em cada ponto:
Para
\bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}+2}{2},-\tfrac{\sqrt{2}+2}{2},-\!(1+\sqrt{2})\bigr)
temos
f=2\Bigl(\frac{\sqrt{2}+2}{2}\Bigr)^{2}+(1+\sqrt{2})^{2} =6+4\sqrt{2}.
Para
\bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\sqrt{2}-1\bigr)
temos
f=2\Bigl(\frac{\sqrt{2}-2}{2}\Bigr)^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2} =6-4\sqrt{2}.

Passo 6

Como 6-4\sqrt{2}\approx0{,}343 é o menor valor de f encontrado, o ponto
\bigl(\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\,\sqrt{2}-1\bigr)
é um mínimo local. O outro ponto dá f\approx11{,}657 e é um máximo local ao restringir-se à curva de intersecção dos vínculos.

Resposta

Ponto de mínimo local:
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}-2}{2},\,\sqrt{2}-1\Bigr), \quad f_{\min}=6-4\sqrt{2}.
Ponto de máximo local:
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}+2}{2},\,-\tfrac{\sqrt{2}+2}{2},\,-(1+\sqrt{2})\Bigr), \quad f_{\max}=6+4\sqrt{2}.

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