Exercício 9.26. Encontre os pontos e valores extremos de
sob os vínculos
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sob os vínculos
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange com dois vínculos. Vamos precisar escrever as equações de estação
juntamente com e
.
juntamente com
Passo 2
Calculamos os gradientes:
O sistema de Lagrange é
com
Passo 3
Reescrevendo cada equação:
Isto dá
Existem duas possibilidades:
ou
. Verificamos que
implica
e
, mas isso viola
. Logo só há
.
Passo 4
Se
, das duas primeiras equações vem
. Chamando esse valor de
, temos
e também
, logo
Dos vínculos substituímos
, isto é
, e
.
— Caso :
— Caso
— Caso
:
Passo 5
Calculamos
em cada ponto:
Para
temos
Para
temos
Para
temos
temos
Passo 6
Como
é o menor valor de
encontrado, o ponto
é um mínimo local. O outro ponto dá e é um máximo local ao restringir-se à curva de intersecção dos vínculos.
é um mínimo local. O outro ponto dá
Resposta
Ponto de mínimo local:
Ponto de máximo local: