Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. (utilize :os testes da : razão; raiz; alternadas)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n 5^{n}}{(2 n+3) \ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,5^{n}}{(2 n+3)\,\ln(n+1)}
e pede para determinar se ela converge absolutamente, converge (condicionalmente) ou diverge. Como todos os termos são positivos, a convergência simples e a absoluta coincidem, e podemos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n\,5^{n}}{(2n+3)\,\ln(n+1)}.
Para aplicar o teste da razão, precisamos analisar
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle (n+1)\,5^{\,n+1}\big/\bigl((2(n+1)+3)\,\ln(n+2)\bigr)} {\displaystyle n\,5^{\,n}\big/\bigl((2n+3)\,\ln(n+1)\bigr)}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a razão, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =5\;\frac{n+1}{n}\;\frac{2n+3}{2n+5}\;\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}.
Agrupando fatores que dependem de n,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =5 \times \frac{n+1}{n} \times \frac{2n+3}{2n+5} \times \frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} =1,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+5} =1,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)} =1.
Logo
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =5 \times 1 \times 1 \times 1 =5.

Passo 5

O teste da razão diz que, se L>1, a série de termos positivos diverge. Aqui L=5>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
diverge.

Resposta

A série diverge (logo não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

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