Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
F(x, y)=-x^2 y i+2 y j, ao longo de r(t)= a cos t i+a sin t j, onde a>0 e 0 <= t <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força F(x,y)=-x^2y,i+2y,j ao longo da curva dada por
r(t)=acos t,i+asin t,j, 0<= t<=pi2.
Lembrando que o trabalho é o integral de linha
W=integralCFcdot dr,
vamos parametrizar tudo em função de t.

Passo 2

Da parametrização r(t)=(acos t,asin t) obtemos
r'(t)=(-asin t,;acos t)
Substituindo na força,
F(r(t)) =l(-,(acos t)^2(asin t),;2,(asin t)r) =l(-a^3cos^2tsin t,;2asin tr)

Passo 3

O produto escalar necessário é
F(r(t))cdotr'(t) =(-a^3cos^2tsin t)(-asin t)+(2asin t)(acos t) =a^4cos^2tsin^2t+2a^2sin tcos t
Assim
W=integral0^pi/2l(a^4cos^2tsin^2t+2a^2sin tcos tr),dt

Passo 4

Separamos em dois integrais:
I1=a^4integral0^pi/2cos^2tsin^2t,dt, I2=2a^2integral0^pi/2sin tcos t,dt
Para I1 usamos sin^2tcos^2t=tfrac18(1-cos4t), obtendo
integral0^pi/2cos^2tsin^2t,dt =18l[t-tfracsin4t4r]0^pi/2 =pi16,
logo I1=a^4tfracpi16.
Para I2 temos
integral0^pi/2sin tcos t,dt =12sin^2t|0^pi/2 =12,
logo I2=2a^2cdottfrac12=a^2.

Passo 5

Somando os dois resultados,
W=I1+I2 =pi a^416+a^2

Resposta

W = a^2 + pi,a^416

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